Determine equações paramétricas para a reta \ell que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano \Pi, onde:
A=(0,0,0), e \Pi:\left\{\begin{array}{l}x=1-s-t \\\ y=s \\\ z=t\end{array}, s, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(0,0,0)\) e o plano \(\Pi\) em forma paramétrica \[\begin{cases} x = 1 - s - t\\\ y = s\\\ z = t \end{cases},\quad s,t\in\mathbb R
Queremos a reta \ell\] que passa por \(A e é perpendicular a \Pi. Para isso, vamos achar um vetor normal ao plano e usá-lo como vetor direção de \ell.

Passo 2

Da forma paramétrica de \Pi extraímos dois vetores diretores do plano associando-os às variações de s e t:
\vec v = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial s} = (-1,1,0), \qquad \vec w = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial t} = (-1,0,1).

Passo 3

O vetor normal \vec n ao plano é dado pelo produto vetorial
\vec n \;=\;\vec v\times\vec w \;=\;\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \;=\;(1,\,1,\,1).

Passo 4

A reta \ell que passa por A e tem direção \vec n é
(x,y,z) \;=\;(0,0,0) + t\,(1,1,1), \quad t\in\mathbb R.
Em equações paramétricas:
x = t,\quad y = t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb R.

Resposta

x = t,\quad y = t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb R.

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