Determine as equações paramétricas da reta que é interseção dos planos \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\ x-y+z=2\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da reta que é interseção dos dois planos dados:
\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] x-y+z=2 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
Duas equações lineares em x,y,z que representam dois planos no espaço.
A interseção de dois planos distintos, em geral, é uma reta (ou vazia ou um plano, mas aqui assumimos que é uma reta).
Nosso objetivo: escrever x,y,z em função de um parâmetro (por exemplo t) — isto é, encontrar as equações paramétricas da reta.]
Passo 2
Estratégia prática: resolver o sistema para eliminar variáveis e expressar duas variáveis em função de uma livre. Primeiro vou eliminar x e z para achar y. Subtraio a segunda equação da primeira:
(x+y+z)-(x-y+z)=1-2.
Agora faço as contas termo a termo: x-x=0, y-(-y)=2y, z-z=0. No lado direito 1-2=-1. Logo:
2y=-1.
Dividindo por 2 obtenho:
y=-\frac{1}{2}.
Então já temos o valor fixo de y na reta de interseção.
Passo 3
Com y=-\dfrac{1}{2}, substituo em uma das equações dos planos para relacionar x e z. Uso a primeira equação:
x + y + z = 1.
Substituindo y:
x + \left(-\frac{1}{2}\right) + z = 1.
Somando \tfrac{1}{2} em ambos os lados:
x + z = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Portanto obtermos a relação linear
x + z = \frac{3}{2}.
Passo 4
Agora escolho um parâmetro para a variável livre. Como x e z estão relacionados por uma equação, podemos tomar z como parâmetro. Seja t o parâmetro e ponho
z=t.
A partir de x+z=\dfrac{3}{2} segue
x=\frac{3}{2}-z=\frac{3}{2}-t.
E já tínhamos y=-\dfrac{1}{2}. Assim as equações paramétricas da reta são
x=\frac{3}{2}-t,\qquad y=-\frac{1}{2},\qquad z=t,
onde t\in\mathbb{R}.
Passo 5
Interpretação geométrica e forma vetorial (útil na prova): a reta passa por um ponto conhecido e tem um vetor direção. Quando t=0 obtemos o ponto de passagem
\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0\right).
O vetor direção é dado pelos coeficientes de t nas equações paramétricas, isto é
Um vetor direção equivalente é (-1,0,1), que coincide (até múltiplo escalar) com o vetor usado acima. Esse método é útil quando não queremos resolver as equações diretamente.]
Passo 7
Resumo rápido: escolhi z=t como parâmetro, calculei y eliminando incógnitas, encontrei x em função de t, e escrevi a representação paramétrica e a forma vetorial. Força aí — essa técnica de eliminar variáveis e escolher um parâmetro é padrão e dá pra aplicar rápido na prova!