Determine as equações paramétricas da reta que é interseção dos planos \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\ x-y+z=2\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que é interseção dos dois planos dados:
\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] x-y+z=2 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Duas equações lineares em x,y,z que representam dois planos no espaço.
  • A interseção de dois planos distintos, em geral, é uma reta (ou vazia ou um plano, mas aqui assumimos que é uma reta).
  • Nosso objetivo: escrever x,y,z em função de um parâmetro (por exemplo t) — isto é, encontrar as equações paramétricas da reta.]

Passo 2

Estratégia prática: resolver o sistema para eliminar variáveis e expressar duas variáveis em função de uma livre. Primeiro vou eliminar x e z para achar y. Subtraio a segunda equação da primeira:
(x+y+z)-(x-y+z)=1-2.
Agora faço as contas termo a termo: x-x=0, y-(-y)=2y, z-z=0. No lado direito 1-2=-1. Logo:
2y=-1.
Dividindo por 2 obtenho:
y=-\frac{1}{2}.
Então já temos o valor fixo de y na reta de interseção.

Passo 3

Com y=-\dfrac{1}{2}, substituo em uma das equações dos planos para relacionar x e z. Uso a primeira equação:
x + y + z = 1.
Substituindo y:
x + \left(-\frac{1}{2}\right) + z = 1.
Somando \tfrac{1}{2} em ambos os lados:
x + z = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Portanto obtermos a relação linear
x + z = \frac{3}{2}.

Passo 4

Agora escolho um parâmetro para a variável livre. Como x e z estão relacionados por uma equação, podemos tomar z como parâmetro. Seja t o parâmetro e ponho
z=t.
A partir de x+z=\dfrac{3}{2} segue
x=\frac{3}{2}-z=\frac{3}{2}-t.
E já tínhamos y=-\dfrac{1}{2}. Assim as equações paramétricas da reta são
x=\frac{3}{2}-t,\qquad y=-\frac{1}{2},\qquad z=t,
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação geométrica e forma vetorial (útil na prova): a reta passa por um ponto conhecido e tem um vetor direção. Quando t=0 obtemos o ponto de passagem
\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0\right).
O vetor direção é dado pelos coeficientes de t nas equações paramétricas, isto é
v = (-1,0,1).
Portanto a forma vetorial da reta é
(x,y,z)=\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0\right)+t(-1,0,1).
Na prova, escrever a reta nessa forma (ponto + parâmetro·direção) costuma ser bem aceita.

Passo 6

Observação alternativa (método curto que pode aparecer na prova): os vetores normais aos planos são
n_1=(1,1,1),\qquad n_2=(1,-1,1).
A direção da reta de interseção é perpendicular a ambos n_1 e n_2, então pode ser obtida pelo produto vetorial:
n_1\times n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2,0,-2) = 2(1,0,-1).
Um vetor direção equivalente é (-1,0,1), que coincide (até múltiplo escalar) com o vetor usado acima. Esse método é útil quando não queremos resolver as equações diretamente.]

Passo 7

Resumo rápido: escolhi z=t como parâmetro, calculei y eliminando incógnitas, encontrei x em função de t, e escrevi a representação paramétrica e a forma vetorial. Força aí — essa técnica de eliminar variáveis e escolher um parâmetro é padrão e dá pra aplicar rápido na prova!

Resposta

x=\dfrac{3}{2}-t\n y=-\dfrac{1}{2}\n z=t

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