Seja o triângulo de vértices A=(1,2,-2), B=(-3,4,6) e C=(-2,3,4). Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos médios do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo:
A=(1,2,-2),\quad B=(-3,4,6),\quad C=(-2,3,4).
Pede para determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos médios do triângulo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{os pontos dados são }A,\;B,\;C.
A pergunta é: qual é a equação do plano que contém os três pontos médios dos lados de ABC?
Passo 2
Observação importante (e bem útil na prova): os pontos médios dos lados de um triângulo estão no mesmo plano que os vértices do triângulo. Explico por quê, devagar e sem pressa: o ponto médio de AB é \tfrac{A+B}{2}, que é uma combinação afim (média) de A e B. O plano que contém A,B,C é um conjunto fechado por combinações afins desses pontos, então qualquer média dos vértices (como os pontos médios) fica nesse mesmo plano. Portanto, basta achar a equação do plano que passa por A,B,C.
Passo 3
Método escolhido: usar a forma ponto-normal do plano. Para isso precisamos de um vetor normal ao plano. Um vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial de dois vetores que estão no plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Vou calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Aqui eu subtraí coordenada a coordenada: por exemplo a primeira componente de \overrightarrow{AB} é -3-1=-4, e assim por diante.
Passo 5
Agora o produto vetorial \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} dá um vetor perpendicular a ambos (logo normal ao plano). Uso a fórmula componente a componente:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2, obtendo um vetor mais simples:
\overrightarrow{n}=(2,\;0,\;1).
Esse vetor é normal ao plano que contém A,B,C.
Passo 6
A forma ponto-normal do plano com normal \overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3) e que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Tomando \overrightarrow{n}=(2,0,1) e o ponto A=(1,2,-2), substituímos:
2(x-1)+0(y-2)+1\bigl(z-(-2)\bigr)=0.
Isso dá
2x-2+z+2=0.
Simplificando,
2x+z=0.
Essa é a equação do plano em forma geral. Podemos checar rapidamente que B e C satisfazem: 2(-3)+6=0 e 2(-2)+4=0, e A também satisfaz, então a equação está correta. Como os pontos médios estão no mesmo plano dos vértices, esta é a equação procurada.
Passo 7
(Confirmação extra e gostosa) Para ficar seguro, podemos calcular um dos pontos médios, por exemplo o de AB: