Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos:
(a) x+2 y-3 z-4=0 e x-4 y+2 z+1=0;

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que é a interseção de dois planos em \mathbb{R}^3:
P_1: x + 2y - 3z - 4 = 0,
P_2: x - 4y + 2z + 1 = 0.
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear de duas equações em três incógnitas, obtendo-se uma família de soluções descrita por um parâmetro.

Passo 2

Para eliminar uma variável, subtraímos P_2 de P_1:
(x+2y-3z-4)\;-\;(x-4y+2z+1)=0
que simplifica para
6y -5z -5 = 0
Logo,
y = \frac{5}{6}z + \frac{5}{6}.

Passo 3

Substituímos essa expressão de y em P_1:
x + 2\Bigl(\frac{5}{6}z + \frac{5}{6}\Bigr) -3z -4 = 0
x = 4 +3z -2\Bigl(\frac{5}{6}z + \frac{5}{6}\Bigr) = \frac{7}{3} + \frac{4}{3}z.

Passo 4

Escolhemos z como parâmetro, dizemos z = t. Assim
x = \frac{7}{3} + \frac{4}{3}t, \quad y = \frac{5}{6}t + \frac{5}{6}, \quad z = t.

Passo 5

Para simplificar e eliminar frações, fazemos uma reparametrização. Seja t = 6s -1. Então
z = 6s -1, \quad y = \frac{5}{6}(6s-1) + \frac{5}{6} = 5s, \quad x = \frac{7}{3} + \frac{4}{3}(6s-1) = 1 + 8s.

Resposta

As equações paramétricas da reta interseção são
x = 1 + 8s, \quad y = 5s, \quad z = 6s - 1,
com s\in\mathbb{R}.

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