r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{ll} x & =0-2 k \\\ y & =1+2 k \\\ z & =-1-2 k \end{array} \quad k \in \mathbb{R} \quad .\right.
a) Verifique se as retas r e s são paralelas, reversas ou concorrentes.
b) Ache uma equação geral do plano que contém as retas r e s.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\):
\[r: \mathbf X=(1,1,1)+t\,(1,-1,1), \quad s:\begin{cases} x=-2k,\\\ y=1+2k,\\\ z=-1-2k, \end{cases}
com (t,k\in\mathbb{R}]. Na parte (a) queremos classificar se são paralelas, reversas (espaçadas) ou concorrentes (se interceptam). Na parte (b) precisamos obter a equação geral do plano que passa por ambas, usando vetores diretores e produto vetorial.
Passo 2
Para a classificação, extraímos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Reta r: ponto P=(1,1,1), vetor diretor \mathbf v_r=(1,-1,1).
Reta s: ponto Q=(0,1,-1) (quando k=0), vetor diretor \mathbf v_s=(-2,2,-2).
Note que \mathbf v_s=-2\,(1,-1,1)=-2\,\mathbf v_r, então os vetores são colineares e as retas são paralelas ou coincidentes. Para ver se coincidem, tentamos resolver
(1,1,1)+t\,(1,-1,1)=(-2k,\;1+2k,\;-1-2k).
Dessa forma obtemos três equações:
1+t=-2k,\quad 1-t=1+2k,\quad 1+t=-1-2k.
Da segunda equação vem 1-t=1+2k\implies -t=2k. Da primeira vem t=-2k-1. Substituindo em -t=2k dá -(-2k-1)=2k\implies2k+1=2k\implies1=0, impossível.
Passo 3
Como não há solução, as retas não se intersectam e têm vetores diretores colineares. Logo são paralelas e distintas.
Passo 4
Para achar o plano que contém duas retas paralelas, basta um ponto de r (por exemplo P) e os vetores \mathbf v_r e \overrightarrow{PQ}. Calculamos