Determine
a distância do ponto (5,4,7) à reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+5 t \\\ y=2-t, \\\ z=t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto (5,4,7) à reta r dada por
x=1+5t,\quad y=2-t,\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Esse problema usa geometria analítica em \mathbb{R}^3 e a fórmula de distância de um ponto P_0 a uma reta que passa por A com vetor diretor \vec v:
d = \frac{\big\|(P_0 - A)\times \vec v\big\|}{\|\vec v\|}.

Passo 2

Escolhemos o ponto A na reta para t=0:
A = (1,2,0).
O vetor diretor da reta é
\vec v = (5,\,-1,\,1).

Passo 3

Formamos o vetor que vai de A até P_0=(5,4,7):
\vec{AP} = P_0 - A = (5-1,\;4-2,\;7-0) = (4,\,2,\,7).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \vec{AP}\times\vec v via determinante:
\vec{AP}\times\vec v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 4 & 2 & 7\\\\ 5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot1 - 7\cdot(-1),\;-\bigl(4\cdot1 - 7\cdot5\bigr),\;4\cdot(-1)-2\cdot5) = (9,\;31,\;-14).

Passo 5

Calculamos as normas e aplicamos a fórmula:
\big\|\vec{AP}\times\vec v\big\| = \sqrt{9^2 + 31^2 + (-14)^2} = \sqrt{1238},
\|\vec v\| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.
Logo a distância é
d = \frac{\sqrt{1238}}{3\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{1238}}{3\sqrt{3}}

Exercícios relacionados