Pedido: determinar (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}.\n
Observação importante que vou usar: os produtos vetoriais e o produto escalar aqui pressupõem vetores em \mathbb{R}^3. Não foi pedido nada sobre componentes numéricas de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}, só foi dado o valor do produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois).
Passo 2
Definição e significado do produto misto (ou triplo escalar):\n
O produto misto de três vetores é a quantidade \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}). Geometricamente, é o volume orientado do paralelogramo-paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.\n
Em componentes, se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então o produto misto também pode ser escrito como determinante:
Uma propriedade central que usaremos: o determinante (e portanto o produto misto) é invariante por permutações cíclicas das colunas (ou linhas). Ou seja,
Essa propriedade é a chave para relacionar a quantidade dada com a que pedem.]
Passo 3
Mostrando explicitamente que (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) por expansão em componentes (passo a passo, para você ver que não estou “mágicando”):\n
Se expandirmos ambos os lados completamente, veremos que os seis termos não nulos (os produtos do tipo u_i v_j w_k com sinais apropriados) aparecem com os mesmos sinais em ambas as expressões. Portanto as duas expressões são idênticas, o que demonstra a identidade