Suponha que \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=2. Determine
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=2.\n
  • Pedido: determinar (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}.\n
    Observação importante que vou usar: os produtos vetoriais e o produto escalar aqui pressupõem vetores em \mathbb{R}^3. Não foi pedido nada sobre componentes numéricas de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}, só foi dado o valor do produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois).

Passo 2

Definição e significado do produto misto (ou triplo escalar):\n
  • O produto misto de três vetores é a quantidade \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}). Geometricamente, é o volume orientado do paralelogramo-paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.\n
  • Em componentes, se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então o produto misto também pode ser escrito como determinante:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\[2pt] u_2 & v_2 & w_2\\[2pt] u_3 & v_3 & w_3 \end{vmatrix}.
Uma propriedade central que usaremos: o determinante (e portanto o produto misto) é invariante por permutações cíclicas das colunas (ou linhas). Ou seja,
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = \mathbf{v}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{u}) = \mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}).
Essa propriedade é a chave para relacionar a quantidade dada com a que pedem.]

Passo 3

Mostrando explicitamente que (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) por expansão em componentes (passo a passo, para você ver que não estou “mágicando”):\n
  • Primeiro expando \mathbf{v}\times\mathbf{w}:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1).
Logo
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = u_1(v_2w_3-v_3w_2)+u_2(v_3w_1-v_1w_3)+u_3(v_1w_2-v_2w_1).
  • Agora expando \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Então
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = (u_2v_3-u_3v_2)w_1+(u_3v_1-u_1v_3)w_2+(u_1v_2-u_2v_1)w_3.
  • Se expandirmos ambos os lados completamente, veremos que os seis termos não nulos (os produtos do tipo u_i v_j w_k com sinais apropriados) aparecem com os mesmos sinais em ambas as expressões. Portanto as duas expressões são idênticas, o que demonstra a identidade
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
(Outra forma mais concisa de ver isso é usar a expressão determinantal do passo anterior e a invariância por permutações cíclicas.)

Passo 4

Aplicando a identidade ao dado do enunciado:\n
Pelo passo anterior,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
Como o enunciado nos deu \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=2, temos imediatamente
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}=2.

Resposta

2

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