Determine equações paramétricas para a reta
que é ortogonal ao plano determinado pelos pontos
e passa por
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as equações paramétricas de uma reta $ r $ que é ortogonal ao plano formado pelos pontos $ A(1,-2,3) $, $ B(2,1,-4) $ e $ C(-1,-3,1) $, e que passa pelo ponto $ B $.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
- Saber como encontrar a equação de um plano a partir de três pontos.
- Entender o que significa uma reta ser ortogonal a um plano.
- Utilizar vetores para achar a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal é um vetor que é perpendicular ao plano, e ele pode ser encontrado usando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano.
Vamos considerar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
Passo 3
Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ para obter o vetor normal $ \vec{n} $:
Calculando cada componente:
Portanto, $ \vec{n} = (-13, 16, 5) $.
Passo 4
Como a reta $ r $ é ortogonal ao plano, ela tem a mesma direção que o vetor normal $ \vec{n} $. Então, o vetor diretor da reta $ r $ é $ \vec{d} = (-13, 16, 5) $.
Sabendo que a reta passa pelo ponto $ B(2,1,-4) $, podemos montar as equações paramétricas usando a fórmula:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto por onde a reta passa e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor diretor.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Resposta
As equações paramétricas da reta $ r $ são:
Onde $ t $ é o parâmetro.