Determine equações paramétricas para a reta r que é ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(1,-2,3), B(2,1,-4), C(-1,-3,1) e passa por B.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as equações paramétricas de uma reta $ r $ que é ortogonal ao plano formado pelos pontos $ A(1,-2,3) $, $ B(2,1,-4) $ e $ C(-1,-3,1) $, e que passa pelo ponto $ B $.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
  • Saber como encontrar a equação de um plano a partir de três pontos.
  • Entender o que significa uma reta ser ortogonal a um plano.
  • Utilizar vetores para achar a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal é um vetor que é perpendicular ao plano, e ele pode ser encontrado usando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano.
Vamos considerar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
AB
AC

Passo 3

Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ para obter o vetor normal $ \vec{n} $:
AB times AC
Calculando cada componente:
n
n = AB times AC = i & j & k 1 & 3 & -7 -2 & -1 & -2 = i(3 cdot (-2) - (-7) cdot (-1)) - j(1 cdot (-2) - (-7) cdot (-2)) + k(1 cdot (-1) - 3 cdot (-2))
i: ( -6 - 7 ) = -13
Portanto, $ \vec{n} = (-13, 16, 5) $.

Passo 4

Como a reta $ r $ é ortogonal ao plano, ela tem a mesma direção que o vetor normal $ \vec{n} $. Então, o vetor diretor da reta $ r $ é $ \vec{d} = (-13, 16, 5) $.
Sabendo que a reta passa pelo ponto $ B(2,1,-4) $, podemos montar as equações paramétricas usando a fórmula:
r
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto por onde a reta passa e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
x = 2 -13 t
y = 1 + 16 t
z = -4 + 5 t

Resposta

As equações paramétricas da reta $ r $ são:
r
Onde $ t $ é o parâmetro.

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