Sejam y=m1 x+b1 e y=m2 x+b2, onde mi, b1 in R, i 1,2, duas retas no plano cartesiano.
Obtenha equações paramétricas para as retas r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente tirar as equações paramétricas de duas retas que estão dadas na forma $ y = m_{1}x + b_{1} $ e $ y = m_{2}x + b_{2} $. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende diferentes formas de representar retas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como transformar a forma $ y = mx + b $ para essa forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação paramétrica. Em vez de expressar $ y $ diretamente em função de $ x $, nas equações paramétricas a gente usa uma variável extra, geralmente $ t $ (que pode ser qualquer coisa, tipo “tempo” ou “parâmetro”), para expressar tanto $ x $ quanto $ y $. Isso dá uma flexibilidade maior para descrever posições ao longo da reta.

Passo 3

Vamos começar com a primeira reta, $ r_{1}: y = m_{1}x + b_{1} $. Para transformar isso em paramétrico, escolhemos $ t $ como o parâmetro que vai representar $ x $. Ou seja, podemos definir:
r1: y = m1x + b1
Agora, substituímos $ x $ na equação da reta para achar $ y $:
t
Então, as equações paramétricas para $ r_{1} $ ficam:
x
Onde $ t $ é qualquer número real.

Passo 4

Fazendo a mesma coisa para a segunda reta, $ r_{2}: y = m_{2}x + b_{2} $. Escolhemos novamente $ t $ como parâmetro:
r2: y = m2x + b2
Substituímos na equação da reta:
t
Então, as equações paramétricas para $ r_{2} $ são:
x = t
Onde $ t $ também é qualquer número real.

Resposta

As equações paramétricas para as retas são:
Para $ r_{1} $:
r1
Para $ r_{2} $:
x = t y = m1t + b1
Onde $ t \in \mathbb{R} $.

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