Sejam
e
, onde
, duas retas no plano cartesiano.
Obtenha equações paramétricas para as retas
e
.
Obtenha equações paramétricas para as retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente tirar as equações paramétricas de duas retas que estão dadas na forma $ y = m_{1}x + b_{1} $ e $ y = m_{2}x + b_{2} $. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende diferentes formas de representar retas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como transformar a forma $ y = mx + b $ para essa forma paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação paramétrica. Em vez de expressar $ y $ diretamente em função de $ x $, nas equações paramétricas a gente usa uma variável extra, geralmente $ t $ (que pode ser qualquer coisa, tipo “tempo” ou “parâmetro”), para expressar tanto $ x $ quanto $ y $. Isso dá uma flexibilidade maior para descrever posições ao longo da reta.
Passo 3
Vamos começar com a primeira reta, $ r_{1}: y = m_{1}x + b_{1} $. Para transformar isso em paramétrico, escolhemos $ t $ como o parâmetro que vai representar $ x $. Ou seja, podemos definir:
Agora, substituímos $ x $ na equação da reta para achar $ y $:
Então, as equações paramétricas para $ r_{1} $ ficam:
Onde $ t $ é qualquer número real.
Passo 4
Fazendo a mesma coisa para a segunda reta, $ r_{2}: y = m_{2}x + b_{2} $. Escolhemos novamente $ t $ como parâmetro:
Substituímos na equação da reta:
Então, as equações paramétricas para $ r_{2} $ são:
Onde $ t $ também é qualquer número real.
Resposta
As equações paramétricas para as retas são:
Para $ r_{1} $:
Para $ r_{2} $:
Onde $ t \in \mathbb{R} $.