Determine as equações paramétricas para a reta tangente a curva no ponto especificado:
r(t) =(e^-t cos t, e^-t sin t, e^-t),(1,0,1)
s(t) =(1-t, t, 1-t)

Passo 1

O problema pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva r(t)=(e^-tcos t,;e^-tsin t,;e^-t) no ponto (1,0,1). Para isso, precisamos achar o valor t0 correspondente a esse ponto e usar o vetor derivada r'(t0) como direção da reta.

Passo 2

Queremos r(t0)=(1,0,1). Isso gera o sistema de equações:
e^-t0cos t0 = 1, e^-t0sin t0 = 0, e^-t0 = 1
Da última equação vem e^-t0=1, logo t0=0.

Passo 3

Agora derivamos cada componente de r(t). Usando regra do produto e cadeia, obtemos:
r'(t)=l(-e^-tcos t - e^-tsin t,;-e^-tsin t + e^-tcos t,;-e^-tr)

Passo 4

Avaliando em t0=0:
r'(0)=(-1,1,-1)

Passo 5

A reta tangente passa por (1,0,1) e tem direção dada por (-1,1,-1). Podemos introduzir um parâmetro u e escrever:
x = 1 - u, y = 0 + u, z = 1 - u

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x = 1 - t, y = t, z = 1 - t

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