Determine tildea(z), onde:
an=n

Passo 1

A sequência dada é an = n, e queremos encontrar sua transformada Z tilde a(z) = sumn=0^infty an z^-n. Aqui o conteúdo é Transformada Z de uma sequência crescente e vamos usar propriedades de séries de potências.

Passo 2

Escrevemos a definição da Transformada Z para essa sequência:
tilde a(z) = sumn=0^infty n ,z^-n
Observação: o termo de índice zero é zero, pois a0=0.

Passo 3

Reconhecemos que essa soma é uma série de potências na forma sumn=0^infty n x^n com x = z^-1. Sabemos da teoria de séries que:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x|<1,
portanto diferenciando ambos os lados em relação a x e multiplicando por x temos
sumn=0^infty n ,x^n = x(1 - x)^2

Passo 4

Substituímos x = z^-1 na expressão acima:
tilde a(z) = sumn=0^infty n,z^-n = z^-1l(1 - z^-1r)^2

Passo 5

Para deixar a forma mais comum, multiplicamos numerador e denominador por z^2:
tilde a(z) = z^-1 cdot z^2(1 - z^-1)^2 cdot z^2 = z(z - 1)^2,
com região de convergência |z| > 1.

Resposta

tilde a(z) = z^-1(1 - z^-1)^2 = z(z - 1)^2, ; |z| > 1

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