Determine equações paramétricas para a reta tangente à curva V(t)=(2 sen(t), 2 sen(2 t), 2 sen(3 t)) em P(1, raiz3, 2).
R: x=1+raiz3 t, y=raiz3+2 t, z=2

Passo 1

O enunciado dá a curva vetorial
V(t) = l(2sin t,;2sin(2t),;2sin(3t)r)
e pede a reta tangente em P=(1,raiz3,2).
O plano de ataque é: (1) encontrar t0 tal que V(t0)=P, (2) calcular V'(t), (3) avaliar em t0 para ter o vetor direção, e (4) montar as equações paramétricas.

Passo 2

Igualamos componente a componente para achar t0:
2sin t0 = 1, 2sin(2t0)=raiz3, 2sin(3t0)=2
Da primeira vem sin t0 = tfrac12, logo t0=tfracpi6 (o outro candidato 5pi/6 falha nas outras equações). Verificando,
sin(2cdottfracpi6)=sintfracpi3=tfracraiz32 e
sin(3cdottfracpi6)=sintfracpi2=1,
que de fato geram raiz3 e 2 quando multiplicados por 2.

Passo 3

Derivamos componente a componente:
V'(t) = l(2cos t,;4cos(2t),;6cos(3t)r)

Passo 4

Em t0=tfracpi6 temos
V'l(tfracpi6r) =l(2costfracpi6,;4costfracpi3,;6costfracpi2r) =l(raiz3,;2,;0r)
Esse é o vetor direção da reta tangente.

Passo 5

A reta tangente em P=(1,raiz3,2) com vetor direcional (raiz3,2,0) admite as equações paramétricas
x=1+raiz3,s, y=raiz3+2,s, z=2
Bastando rebatizar s por t para coincidir com a notação pedida.

Resposta

x = 1 + raiz3,t, y = raiz3 + 2,t, z = 2

Exercícios relacionados