Determine as equações paramétricas e um vetor direção da reta r que passa pelos pontos A e B, onde:
A=(-1,-1), B=\left(2,-\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A e B; (2) um vetor direção dessa reta. Os dados fornecidos são os pontos
A = (-1,-1),\qquad B = \left(2,-\tfrac{1}{2}\right).

Passo 2

Entender o formato de equação paramétrica de uma reta é o passo principal. Se uma reta passa por um ponto (x_0,y_0) e tem vetor direção (a,b), então a forma paramétrica é
x = x_0 + a t,\qquad y = y_0 + b t,
onde t é o parâmetro que percorre todos os reais. Aqui:
  • (x_0,y_0) é um ponto qualquer da reta (podemos escolher A ou B);
  • (a,b) é um vetor paralelo à reta (qualquer vetor não nulo paralelo serve);
  • t é um número real que, ao variar, gera todos os pontos da reta.
Exemplo rápido: se temos ponto (0,0) e direção (1,2), então \;x=t,\;y=2t\; descreve a reta.

Passo 3

Agora vamos obter um vetor direção natural: o vetor que vai de A para B, isto é \overrightarrow{AB}. Subtrai-se coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB} = B - A = \Big(2-(-1),\; -\tfrac{1}{2}-(-1)\Big).
Calculemos cada componente:
2-(-1)=3,\qquad -\tfrac{1}{2}-(-1)=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.
Logo podemos tomar como vetor direção
\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(3,\tfrac{1}{2}).
Observação importante: qualquer múltiplo escalar não nulo de \vec{v} também é vetor direção da mesma reta. Por exemplo, multiplicando por 2 obtém-se o vetor inteiro (6,1), que é frequentemente mais confortável para escrever.

Passo 4

Escolhendo o ponto A como ponto base (x_0,y_0)=(-1,-1) e o vetor direção \vec{v}=(3,\tfrac{1}{2}), substituímos na forma paramétrica:
x = -1 + 3t,\qquad y = -1 + \tfrac{1}{2}t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso já é uma resposta válida. Se preferir usar o vetor inteiro (6,1) como direção, pode-se reparametrizar com um parâmetro s (relacionado a t por t=2s) e escrever:
x = -1 + 6s,\qquad y = -1 + s,\qquad s\in\mathbb{R}.
Ambas as formas descrevem exatamente a mesma reta; é só escolha de parâmetro.

Passo 5

Sempre vale checar se o ponto B está na parametrização escolhida. Usando a primeira parametrização, tome t=1:
x(-1+3\cdot1)=2,\qquad y(-1+\tfrac{1}{2}\cdot1)=-\tfrac{1}{2},
que coincide com B. Logo está tudo correto.

Passo 6

Resumo prático (o que precisa levar na prova): um vetor direção simples é \vec{v}=(3,\tfrac{1}{2}) — ou o equivalente inteiro (6,1). As equações paramétricas usuais (usando t) são
x=-1+3t,\qquad y=-1+\tfrac{1}{2}t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

x=-1+3t,\quad y=-1+\tfrac{1}{2}t,\\ t\in\mathbb{R}.
Um vetor direção: \vec{v}=(3,\tfrac{1}{2}) (ou equivalente (6,1)).

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