Velocidade Relativa: Um avião A voa na direção sudoeste com velocidade \left|\mathbf{v}_{A}\right|= 500 mph , e um avião B voa na direção noroeste com velocidade \left|\mathbf{v}_{B}\right|=400 \mathrm{mph}. Determine a velocidade relativa \mathbf{v}=\mathbf{v}_{B}-\mathbf{v}_{A} de B em relação a A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Avião A: voa na direção sudoeste com velocidade de módulo \left|\mathbf{v}_{A}\right|=500\\ \text{mph}.
  • Avião B: voa na direção noroeste com velocidade de módulo \left|\mathbf{v}_{B}\right|=400\\ \text{mph}.
  • O que pedem: determinar a velocidade relativa \mathbf{v}=\mathbf{v}_{B}-\mathbf{v}_{A} de B em relação a A (ou seja, o vetor diferença das velocidades).

Passo 2

Escolha de sistema de referência (isso é necessário para escrever vetores em coordenadas): vou usar um plano com eixo x positivo para leste e eixo y positivo para norte. Explicação rápida e útil: assim, vetores com componente negativa em x apontam para oeste; componente negativa em y apontam para sul.

Passo 3

Converter as direções “sudoeste” e “noroeste” em componentes. Cada uma é um ângulo de 45^\circ em relação aos eixos cardeais porque sudoeste é exatamente meio termo entre sul e oeste, e noroeste é meio termo entre norte e oeste. Portanto os vetores unitários nas direções são:
  • Direção sudoeste: aponta para oeste e para sul, ambos com a mesma magnitude. O vetor unitário é
\mathbf{\hat u}_{\text{SW}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Direção noroeste: aponta para oeste e para norte, ambos com a mesma magnitude. O vetor unitário é
\mathbf{\hat u}_{\text{NW}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, +\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Breve motivo: um vetor com componentes iguais em magnitude e comprimento total 1 tem cada componente igual a \pm 1/\sqrt{2}, porque \sqrt{(1/\sqrt{2})^2+(1/\sqrt{2})^2}=\sqrt{1/2+1/2}=1.

Passo 4

Escrever as velocidades \mathbf{v}_{A} e \mathbf{v}_{B} como produto do módulo pela direção (vetor unitário):
\mathbf{v}_{A} = 500\\ \mathbf{\hat u}_{\text{SW}} = 500\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
\mathbf{v}_{B} = 400\\ \mathbf{\hat u}_{\text{NW}} = 400\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Calcular explicitamente as componentes (multiplicando as constantes):
Para \mathbf{v}_{A}:
\mathbf{v}_{A}=\left(-\frac{500}{\sqrt{2}},-\frac{500}{\sqrt{2}}\right).
Para \mathbf{v}_{B}:
\mathbf{v}_{B}=\left(-\frac{400}{\sqrt{2}},+\frac{400}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Agora a velocidade relativa é \mathbf{v}=\mathbf{v}_{B}-\mathbf{v}_{A}. Subtraindo componente a componente:
Componente x:
v_x = -\frac{400}{\sqrt{2}} -\left(-\frac{500}{\sqrt{2}}\right)=\frac{-400+500}{\sqrt{2}}=\frac{100}{\sqrt{2}}.
Componente y:
v_y = \frac{400}{\sqrt{2}} -\left(-\frac{500}{\sqrt{2}}\right)=\frac{400+500}{\sqrt{2}}=\frac{900}{\sqrt{2}}.
Podemos simplificar escrevendo em termos de \sqrt{2}:
\frac{100}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2},\qquad \frac{900}{\sqrt{2}}=450\sqrt{2}.
Portanto
\mathbf{v}=\left(50\sqrt{2},\,450\sqrt{2}\right)\\ \text{mph},
onde as componentes estão na ordem (\text{leste},\\ \text{norte}).

Passo 7

Calcular o módulo (velocidade escalar relativa) usando o teorema de Pitágoras para componentes ortogonais:
\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{(50\sqrt{2})^{2}+(450\sqrt{2})^{2}}.
Calcule os quadrados:
(50\sqrt{2})^{2}=50^{2}\cdot2=2500\cdot2=5000,
(450\sqrt{2})^{2}=450^{2}\cdot2=202500\cdot2=405000.
Somando:
\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{5000+405000}=\sqrt{410000}.
Fatorando:
\sqrt{410000}=\sqrt{10000\cdot41}=100\sqrt{41}\\ \text{mph}\approx 640{,}31\\ \text{mph}.

Passo 8

Determinar a direção da velocidade relativa (ângulo medido a partir do leste, positivo para norte). Usar tangente:
\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{450\sqrt{2}}{50\sqrt{2}}=\frac{450}{50}=9.
Logo
\theta=\arctan(9)\approx 83{,}66^\circ.
Interpretação: \mathbf{v} aponta a cerca de 83{,}66^\circ ao norte do leste — ou seja, quase direto para o norte, com um pequeno componente leste.

Passo 9

Resumo em forma prática (útil para checar na prova): a componente leste de \mathbf{v} é 50\sqrt{2}\\ \text{mph} e a componente norte é 450\sqrt{2}\\ \text{mph}. O módulo é 100\sqrt{41}\\ \text{mph} e a direção é \arctan(9)\approx 83{,}66^\circ ao norte do leste.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}=\left(50\sqrt{2},\,450\sqrt{2}\right)\\ \text{mph} (componentes: leste, norte)
\displaystyle \left|\mathbf{v}\right|=100\sqrt{41}\\ \text{mph}\approx 640{,}31\\ \text{mph}
\displaystyle \theta=\arctan(9)\approx 83{,}66^\circ ao norte do leste

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