Determine as equações paramétricas e um vetor direção da reta r que passa pelos pontos A e B, onde:
A=\left(2,-\frac{3}{4}\right), B=\left(\frac{9}{4}, 1\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A e B.
  • Determinar um vetor direção dessa reta.
As informações dadas (retiradas do enunciado) são:
  • A=\left(2,-\dfrac{3}{4}\right).
  • B=\left(\dfrac{9}{4},1\right).

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vamos usar) — sem pânico, é simples: uma reta pode ser escrita em forma vetorial a partir de um ponto P_0=(x_0,y_0) e um vetor direção \mathbf{v}=(v_x,v_y) por
\mathbf{r}(t)=P_0+t\mathbf{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro (um número real). Em coordenadas isso dá as equações paramétricas
x=x_0+t\,v_x,\qquad y=y_0+t\,v_y.
Aqui:
  • x_0,y_0 são as coordenadas de um ponto conhecido da reta (por exemplo A).
  • v_x,v_y são as componentes do vetor direção; escolheremos \mathbf{v}=B-A (diferença das coordenadas), porque o vetor que leva A até B está certamente na direção da reta.

Passo 3

Calcular o vetor \mathbf{v}=B-A subtraindo coordenada a coordenada (pegando os valores dos pontos dados):
v_x=\frac{9}{4}-2=\frac{9}{4}-\frac{8}{4}=\frac{1}{4},
v_y=1-\left(-\frac{3}{4}\right)=1+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}.
Logo
\mathbf{v}=\left(\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right).

Passo 4

Observação útil sobre vetores direção: qualquer múltiplo escalar não nulo de \mathbf{v} também é um vetor direção válido para a mesma reta. Para eliminar frações, multiplicamos \mathbf{v} por 4 e obtemos um vetor mais simples:
4\mathbf{v}=\left(1,7\right).
Portanto \mathbf{u}=(1,7) também é um vetor direção da reta r. Usaremos \mathbf{u} por ser mais limpo nos paramétricos.

Passo 5

Escrever as equações paramétricas usando o ponto A=(2,-\tfrac{3}{4}) e o vetor direção \mathbf{u}=(1,7). Tomando o parâmetro t\in\mathbb{R},
x=2+t,
y=-\frac{3}{4}+7t.
Explicando: para cada valor de t essas fórmulas dão um ponto da reta; por exemplo, para t=\tfrac{1}{4} obtém-se x=2+\tfrac{1}{4}=\tfrac{9}{4} e y=-\tfrac{3}{4}+7\cdot\tfrac{1}{4}=-\tfrac{3}{4}+\tfrac{7}{4}=1, ou seja, recupera-se o ponto B, como era de se esperar.

Passo 6

Comentário sobre formas equivalentes: também se pode usar diretamente \mathbf{v}=\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{7}{4}\right) e escrever
x=2+\frac{1}{4}t,\qquad y=-\frac{3}{4}+\frac{7}{4}t,
onde agora t=1 dá o ponto B. Essas duas escritas são equivalentes — apenas mudam a escala do parâmetro.

Resposta

x=2+t,\\ y=-\dfrac{3}{4}+7t,\\ t\in\mathbb{R}
\mathbf{v}=(1,7)

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