Determine as equações paramétricas e um vetor direção da reta
que passa pelos pontos
e
, onde:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar as equações paramétricas da reta
que passa pelos pontos e . - Determinar um vetor direção dessa reta.
As informações dadas (retiradas do enunciado) são:
-
. -
.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vamos usar) — sem pânico, é simples: uma reta pode ser escrita em forma vetorial a partir de um ponto
e um vetor direção
por
onde
é o parâmetro (um número real). Em coordenadas isso dá as equações paramétricas
Aqui:
-
são as coordenadas de um ponto conhecido da reta (por exemplo ). -
são as componentes do vetor direção; escolheremos (diferença das coordenadas), porque o vetor que leva até está certamente na direção da reta.
Passo 3
Calcular o vetor
subtraindo coordenada a coordenada (pegando os valores dos pontos dados):
Logo
Passo 4
Observação útil sobre vetores direção: qualquer múltiplo escalar não nulo de
também é um vetor direção válido para a mesma reta. Para eliminar frações, multiplicamos
por
e obtemos um vetor mais simples:
Portanto
também é um vetor direção da reta
. Usaremos
por ser mais limpo nos paramétricos.
Passo 5
Escrever as equações paramétricas usando o ponto
e o vetor direção
. Tomando o parâmetro
,
Explicando: para cada valor de
essas fórmulas dão um ponto da reta; por exemplo, para
obtém-se
e
, ou seja, recupera-se o ponto
, como era de se esperar.
Passo 6
Comentário sobre formas equivalentes: também se pode usar diretamente
e escrever
onde agora
dá o ponto
. Essas duas escritas são equivalentes — apenas mudam a escala do parâmetro.