Determine as equações paramétricas e um vetor direção da reta r que passa pelos pontos A e B, onde:
A=(1,-1), B=(-3,1).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano: A=(1,-1) e B=(-3,1).
Pede-se:
  • determinar as equações paramétricas da reta r que passa por A e B;
  • fornecer um vetor direção dessa reta.
Essas são as informações e o que precisa ser encontrado.

Passo 2

Vamos construir o vetor que vai de A até B. Isso se faz subtraindo coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-3-1,\;1-(-1)).
Agora calculamos cada componente:
-3-1=-4,\qquad 1-(-1)=1+1=2,
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\overrightarrow{AB}=(-4,2).

Passo 3

Explicação do método (passo-a-passo didático): uma reta que passa por um ponto (x_0,y_0) e tem vetor direção (v_x,v_y) pode ser parametrizada por
\vec{r}(t)= (x_0,y_0) + t\,(v_x,v_y),\qquad t\in\mathbb{R},
onde t é o parâmetro que “varre” a reta: para t=0 obtém-se o ponto base (x_0,y_0); para t=1 obtém-se (x_0+v_x,\;y_0+v_y). Aqui escolhemos o ponto base A=(1,-1) e o vetor direção \overrightarrow{AB}=(-4,2). Note que esse vetor direção é não nulo e aponta de A para B; portanto é adequado.

Passo 4

Aplicando a fórmula com A e \overrightarrow{AB}:
\vec{r}(t)=(1,-1)+t(-4,2).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos as equações paramétricas:
x=1-4t, \qquad y=-1+2t, \qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: para t=0 volta em A=(1,-1); para t=1 x=1-4=-3,\;y=-1+2=1, que é B. Portanto está correto.

Passo 5

Observação útil para a prova: qualquer múltiplo não nulo de \overrightarrow{AB} também serve como vetor direção. Podemos simplificar (-4,2) dividindo por 2 e obter (-2,1). Usando esse vetor direção alternativo a parametrização fica (com outro parâmetro, por exemplo s):
x=1-2s,\qquad y=-1+s,\qquad s\in\mathbb{R}.
Aqui s e t estão relacionados por s=2t; são apenas parametrizações diferentes da mesma reta.

Passo 6

Resumo final do raciocínio para a prova:
  • calcule \overrightarrow{AB}=B-A com subtração componente a componente;
  • escreva \vec{r}(t)=(x_0,y_0)+t\overrightarrow{AB};
  • retire as equações paramétricas separando as componentes.
    Pronto — é um procedimento direto e rápido de aplicar na prova.

Resposta

x=1-4t,\;y=-1+2t,\;t\in\mathbb{R}
\vec{v}=(-4,2)

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