Determine as equações paramétricas e um vetor direção da reta r que passa pelos pontos A e B, onde:
A=(-4,1), B=(2,0).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano e pede duas coisas:
  • Encontrar as equações paramétricas da reta r que passa por A=(-4,1) e B=(2,0).
  • Dar um vetor direção dessa reta.
Informações dadas:
  • A = (-4,1).
  • B = (2,0).

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma equação paramétrica de reta e um vetor direção, de forma bem simples e prática.
  • Uma reta no plano pode ser escrita em forma vetorial como
\vec r(t)=\vec r_0 + t\,\vec v,
onde:
  • \vec r(t) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (depende do parâmetro t);
  • \vec r_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (um ponto base);
  • \vec v é um vetor direção da reta (qualquer vetor paralelo à reta, diferente do vetor nulo);
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro (um número real que “passeia” ao longo da reta).
  • Em coordenadas, se \vec r_0=(x_0,y_0) e \vec v=(a,b), a forma paramétrica é
x = x_0 + a\,t,\qquad y = y_0 + b\,t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui a e b são as componentes do vetor direção. Agora vamos calcular essas coisas usando A e B.

Passo 3

Para obter um vetor direção podemos subtrair as coordenadas de A de B (ou vice-versa). Esse vetor aponta de A para B. Calculando:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-4),\;0-1) = (6,\;-1).
Portanto \vec v=(6,-1) é um vetor direção da reta. Observação: qualquer múltiplo não nulo de (6,-1) também é vetor direção válido (por exemplo (3,-\tfrac{1}{2}) ou (-6,1)), mas (6,-1) é o mais direto.

Passo 4

Agora escolhemos um ponto base para escrever as equações paramétricas. Usamos A=(-4,1) como \vec r_0. Aplicando a fórmula:
\vec r(t)=(-4,1) + t\,(6,-1).
Escrevendo em coordenadas paramétricas:
x=-4 + 6t, \qquad y=1 - t, \qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Vamos interpretar rapidamente o parâmetro para checar: para t=0 obtemos (x,y)=(-4,1), que é o ponto A. Para t=1 obtemos (x,y)=(-4+6,\,1-1)=(2,0), que é o ponto B. Assim a representação está correta.

Resposta

x=-4+6t,\\ y=1-t,\\ t\in\mathbb{R}
\vec v=(6,-1)

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