Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P_{0} e é paralela ao vetor \vec{v}, onde:
P_{0}=(1,1), \vec{v}=\left(-1,-\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente o ponto inicial e o vetor diretor da reta e pede as equações paramétricas da reta r. Dados fornecidos:
  • P_{0}=(1,1).
  • \vec{v}=\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right).
O que se pede:
  • Determinar as equações paramétricas da reta r que passa por P_{0} e é paralela a \vec{v}.

Passo 2

Conceito básico (explicado devagar, como num papo de amigo): se uma reta no plano passa por um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0}) e tem vetor diretor \vec{v}=(a,b), então qualquer ponto P(t) da reta pode ser obtido somando ao ponto P_{0} um múltiplo escalar t do vetor \vec{v}. Em forma vetorial:
\vec{r}(t)=\overrightarrow{OP_{0}}+t\vec{v}
Aqui:
  • \overrightarrow{OP_{0}}=(x_{0},y_{0}) é o vetor posição de P_{0}.
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro (um número que nos faz “andar” pela reta).
  • \vec{v}=(a,b) indica a direção e o sentido da reta.

Passo 3

Transformando a forma vetorial em equações por coordenadas: se
\vec{r}(t)=(x_{0},y_{0})+t(a,b)
então escrevendo coordenada a coordenada obtemos as equações paramétricas
x=x_{0}+a\,t
y=y_{0}+b\,t
Explicando cada símbolo:
  • x e y são as coordenadas de um ponto genérico da reta em função de t.
  • x_{0},y_{0} são as coordenadas do ponto inicial P_{0}.
  • a,b são as componentes do vetor diretor \vec{v}.
  • t varia por todos os reais e gera todos os pontos da reta. Por exemplo, t=0 dá o ponto P_{0} e t=1 P_{0}+\vec v.

Passo 4

Agora aplico as fórmulas aos dados do enunciado. Temos x_{0}=1, y_{0}=1, a=-1, b=-\dfrac{1}{2}. Substituindo em cada equação:
x=1+(-1)\,t=1-t
y=1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)t=1-\dfrac{1}{2}t

Passo 5

Interpretação rápida e checagem (para você sentir confiança): para t=0 obtemos (x,y)=(1,1) que é P_{0}. Para t=1 obtemos (x,y)=(0,\tfrac{1}{2}). O vetor que vai de P_{0} até esse ponto é
(0,{\tfrac{1}{2}})-(1,1)=(-1,-\tfrac{1}{2})=\vec v,
ou seja, a reta realmente tem direção \vec v. Tudo bate certinho.

Passo 6

Forma vetorial alternativa (útil para a prova): escrever a reta em notação de vetor posição
\vec{r}(t)=(1,1)+t\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right).
Também é possível escrever a forma simétrica, lembrando que isso exige dividir pelas componentes do vetor diretor (aqui ambas não são zero):
\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{-\tfrac{1}{2}}=t.
Mas as equações paramétricas anteriores são as mais usadas e seguras na prova.

Resposta

\displaystyle x=1-t
\displaystyle y=1-\dfrac{1}{2}t

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