Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta r, onde:
r: x-y=3.

Passo 1

O enunciado dá a reta pela equação cartesiana
x - y = 3
e pede duas coisas:
  • encontrar equações paramétricas da reta;
  • fornecer um vetor paralelo à reta.
Informações relevantes fornecidas: a equação linear \,x-y=3 (está no plano \mathbb{R}^2).

Passo 2

Transformar a equação dada numa forma explícita ajuda a ver a dependência entre x e y. Isolando y obtemos
y = x - 3.
Isto significa que y é sempre igual a x menos 3. Na prática de prova isto já sugere um parâmetro simples: escolher um valor livre para x e expressar y em função desse parâmetro.

Passo 3

Escolhendo um parâmetro (vamos usar t — um jeito padrão e simples):
  • deixar x igual a t: \;x=t\;.
  • substituir em y=x-3: \;y=t-3\;.
Assim temos as equações paramétricas (cada uma escrita como uma função do parâmetro t):
x(t)=t, \qquad y(t)=t-3.
Explicando devagar: para cada valor de t obtemos um ponto (x,y)=(t,t-3) que pertence à reta. Por exemplo, para t=0 obtemos o ponto (0,-3); para t=3 obtemos (3,0). Esses pontos satisfazem x-y=3.

Passo 4

É útil escrever a forma vetorial (mais compacta e que mostra a direção):
\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\[4pt] y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\[4pt] t-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\[4pt] -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 1 \end{pmatrix}.
Aqui a decomposição mostra duas coisas:
  • \begin{pmatrix}0\\\ -3\end{pmatrix} é um ponto da reta (corresponde a t=0);
  • \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} é um vetor que indica a direção da reta (ao aumentar t em 1, o ponto move-se em (1,1)).]

Passo 5

Para justificar que \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} é mesmo um vetor paralelo (direção) da reta, usamos o fato de que da equação ax+by=c o vetor normal à reta é \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}. No nosso caso
x-y=3 \equiv 1\cdot x + (-1)\cdot y = 3,
logo o vetor normal é \mathbf{n}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}. Um vetor \mathbf{v} é paralelo à reta se for ortogonal ao normal, isto é se \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Calculando:
\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} =1\cdot1+(-1)\cdot1=0.
Portanto \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} é ortogonal ao normal e, assim, paralelo à reta. Observação: qualquer múltiplo não nulo de \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} também é um vetor paralelo (por exemplo \begin{pmatrix}-1\\\ -1\end{pmatrix} ou \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix}).

Passo 6

Como alternativa rápida em prova: para uma reta ax+by=c um vetor de direção conveniente é \begin{pmatrix}b\\\ -a\end{pmatrix} (verifique que a\cdot b + b\cdot(-a)=0). Aplicando aqui com a=1,\\ b=-1 \begin{pmatrix}-1\\\ -1\end{pmatrix}, que é apenas o oposto do vetor \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} usado acima — ambos servem como vetor paralelo.

Resposta

x=t,\;y=t-3
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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