Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta
, onde:
.
Passo 1
O enunciado dá a reta pela equação cartesiana
e pede duas coisas:
- encontrar equações paramétricas da reta;
- fornecer um vetor paralelo à reta.
Informações relevantes fornecidas: a equação linear
(está no plano
).
Passo 2
Transformar a equação dada numa forma explícita ajuda a ver a dependência entre
e
. Isolando
obtemos
Isto significa que
é sempre igual a
menos
. Na prática de prova isto já sugere um parâmetro simples: escolher um valor livre para
e expressar
em função desse parâmetro.
Passo 3
Escolhendo um parâmetro (vamos usar
— um jeito padrão e simples):
- deixar
igual a : . - substituir em
: .
Assim temos as equações paramétricas (cada uma escrita como uma função do parâmetro
):
Explicando devagar: para cada valor de
obtemos um ponto
que pertence à reta. Por exemplo, para
obtemos o ponto
; para
obtemos
. Esses pontos satisfazem
.
Passo 4
É útil escrever a forma vetorial (mais compacta e que mostra a direção):
Aqui a decomposição mostra duas coisas:
-
é um ponto da reta (corresponde a ); -
é um vetor que indica a direção da reta (ao aumentar em , o ponto move-se em ).]
Passo 5
Para justificar que
é mesmo um vetor paralelo (direção) da reta, usamos o fato de que da equação
o vetor normal à reta é
. No nosso caso
logo o vetor normal é
. Um vetor
é paralelo à reta se for ortogonal ao normal, isto é se
. Calculando:
Portanto
é ortogonal ao normal e, assim, paralelo à reta. Observação: qualquer múltiplo não nulo de
também é um vetor paralelo (por exemplo
ou
).
Passo 6
Como alternativa rápida em prova: para uma reta
um vetor de direção conveniente é
(verifique que
). Aplicando aqui com
dá
, que é apenas o oposto do vetor
usado acima — ambos servem como vetor paralelo.