Verifique se \vec{v} \| r, onde: \vec{v}=\left(1,-\frac{1}{2}\right), r:\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t \\\ y=\frac{1}{2}+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se \vec{v} é paralelo à reta r. As informações dadas são:
A pergunta a responder é: \vec{v}\parallel r? (ou seja, \vec{v} é paralelo à direção de r?)
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): para mostrar que um vetor \vec{v} é paralelo a uma reta parametrizada por x=x_0+at,\;y=y_0+bt, basta comparar \vec{v} com o vetor diretor da reta, que é
\vec{d}=(a,b).
Justificativa curta: à medida que t varia, o par (x,y) muda na direção (a,b); esse (a,b) é a “direção” da reta. Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro (isto é, existe k\in\mathbb{R} tal que \vec{v}=k\vec{d}).
Passo 3
Extrair o vetor diretor da reta r. Escrevendo as componentes em termos de t:
x=2+(-2)t,\qquad y=\dfrac{1}{2}+1\cdot t,
portanto o vetor diretor é
\vec{d}=(-2,1).
Passo 4
Testar se existe k\in\mathbb{R} tal que k\vec{d}=\vec{v}. Escrevendo isso componente a componente:
k(-2)=1,\qquad k(1)=-\dfrac{1}{2}.
Da primeira equação vem
k=-\dfrac{1}{2}.
Substituindo esse k na segunda equação obtemos
k(1)=-\dfrac{1}{2},
que coincide exatamente com a segunda componente de \vec{v}. Ou seja, o mesmo k=-\dfrac{1}{2} satisfaz ambas as componentes, então
\vec{v}=-\dfrac{1}{2}\,\vec{d}.
Passo 5
Verificação alternativa (método do determinante, útil como check rápido): dois vetores (a,b) e (c,d) são colineares (paralelos) se e somente se o determinante
\begin{vmatrix}a & c \\\ b & d\end{vmatrix}=ad-bc
for zero. Aplicando a \vec{d}=(-2,1) e \vec{v}=(1,-\tfrac{1}{2}) temos