Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta r, onde:
r: 3 x+y=1

Passo 1

O enunciado dá a reta r definida pela equação cartesiana
3x+y=1.
O que é pedido:
  • Determinar equações paramétricas da reta r.
  • Determinar um vetor paralelo à reta r.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação linear 3x+y=1 descreve uma reta no plano.
  • Não há outra informação numérica além dessa equação.

Passo 2

O que significa escrever a reta em forma paramétrica?
Uma reta no plano pode ser escrita em forma vetorial como
\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição genérico de um ponto da reta para cada parâmetro t\in\mathbb{R},
  • \vec{r_0} é o vetor posição de um ponto particular da reta (um ponto que satisfaça a equação),
  • \vec{v} é um vetor direcional (paralelo à reta); qualquer múltiplo escalar de \vec{v} também serve.
Das equações paramétricas extraímos as coordenadas como funções de t:
x=x(t),\qquad y=y(t).

Passo 3

Primeiro encontramos um ponto particular \vec{r_0}=(x_0,y_0) que satisfaça 3x+y=1. Uma escolha simples é tomar x_0=0. Substituindo:
3\cdot 0 + y_0 = 1 \quad\Rightarrow\quad y_0=1.
Logo um ponto da reta é (0,1), ou em forma vetorial
\vec{r_0}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Observação: poderíamos escolher outro x_0, por exemplo x_0=1 y_0=-2; qualquer ponto correto funciona.)]

Passo 4

Agora precisamos de um vetor \vec{v}=(a,b) paralelo à reta. Uma maneira direta: a equação 3x+y=1 tem vetor normal \vec{n}=(3,1) (coeficientes de x e y). O vetor direcional \vec{v} deve ser ortogonal a \vec{n}, isto é
\vec{n}\cdot\vec{v}=0.
Isso dá
(3,1)\cdot(a,b)=3a+b=0.
Escolhendo a=1 (escolha simples), obtemos b=-3. Portanto um vetor paralelo à reta é
\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
(Aquele vetor também poderia ser multiplicado por qualquer escalar; por exemplo (2,-6) serve igualmente.)]

Passo 5

Escrevendo a forma vetorial paramétrica com \vec{r_0} e \vec{v}:
\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Das componentes da expressão vetorial extraímos as equações paramétricas escalares:
x(t)=t, \qquad y(t)=1-3t, \qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: substituindo em 3x+y 3t+(1-3t)=1, logo a parametrização está correta.

Passo 7

Resumo do que encontramos (e uma observação útil para a prova):
  • As equações paramétricas foram obtidas escolhendo um ponto da reta e um vetor direcional ortogonal ao vetor normal (3,1).
  • O vetor direcional não é único; qualquer múltiplo escalar de \begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix} também é válido.

Resposta

x=t,\;y=1-3t,\;t\in\mathbb{R}
\displaystyle \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}]

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