Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta
, onde:
Passo 1
O enunciado dá a reta
definida pela equação cartesiana
O que é pedido:
- Determinar equações paramétricas da reta
. - Determinar um vetor paralelo à reta
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação linear
descreve uma reta no plano. - Não há outra informação numérica além dessa equação.
Passo 2
O que significa escrever a reta em forma paramétrica?
Uma reta no plano pode ser escrita em forma vetorial como
Uma reta no plano pode ser escrita em forma vetorial como
onde:
-
é o vetor posição genérico de um ponto da reta para cada parâmetro , -
é o vetor posição de um ponto particular da reta (um ponto que satisfaça a equação), -
é um vetor direcional (paralelo à reta); qualquer múltiplo escalar de também serve.
Das equações paramétricas extraímos as coordenadas como funções de
:
Passo 3
Primeiro encontramos um ponto particular
que satisfaça
. Uma escolha simples é tomar
. Substituindo:
Logo um ponto da reta é
, ou em forma vetorial
(Observação: poderíamos escolher outro
, por exemplo
dá
; qualquer ponto correto funciona.)]
Passo 4
Agora precisamos de um vetor
paralelo à reta. Uma maneira direta: a equação
tem vetor normal
(coeficientes de
e
). O vetor direcional
deve ser ortogonal a
, isto é
Isso dá
Escolhendo
(escolha simples), obtemos
. Portanto um vetor paralelo à reta é
(Aquele vetor também poderia ser multiplicado por qualquer escalar; por exemplo
serve igualmente.)]
Passo 5
Escrevendo a forma vetorial paramétrica com
e
:
Passo 6
Das componentes da expressão vetorial extraímos as equações paramétricas escalares:
Verificação rápida: substituindo em
dá
, logo a parametrização está correta.
Passo 7
Resumo do que encontramos (e uma observação útil para a prova):
- As equações paramétricas foram obtidas escolhendo um ponto da reta e um vetor direcional ortogonal ao vetor normal
. - O vetor direcional não é único; qualquer múltiplo escalar de
também é válido.