Verifique se \vec{v} \| r, onde:
\vec{v}=(-1,2), r: 2 x-4 y+1=0,

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Vetor dado: \vec{v}=(-1,2).
  • Reta r dada pela equação: 2x-4y+1=0.
    A pergunta é: verificar se \vec{v} é paralelo à reta r.

Passo 2

Conceito/critério (explicado passo a passo, sem pular):
  • Uma reta dada na forma geral ax+by+c=0 tem um vetor normal \vec{n}=(a,b). Isso porque \vec{n} aponta na direção em que a função linear ax+by muda mais rapidamente; geometricamente, \vec{n} é perpendicular a todos os vetores de direção da reta.
  • Um vetor \vec{d} é um vetor de direção da reta se e somente se \vec{d} for perpendicular a \vec{n}, isto é, se \vec{n}\cdot\vec{d}=0.
  • Um vetor \vec{v} é paralelo à reta se for colinear com algum vetor de direção \vec{d} da reta; isto é, existe escalar k tal que \vec{v}=k\vec{d}.
  • Alternativamente, \vec{v} é paralelo à reta exatamente quando \vec{v} é perpendicular ao vetor normal \vec{n} da reta, ou seja, quando \vec{v}\cdot\vec{n}=0.
    Agora vamos aplicar essas ideias ao caso concreto.

Passo 3

Encontrar o vetor normal da reta r.
  • A equação da reta é 2x-4y+1=0. Comparando com ax+by+c=0 tem-se a=2 e b=-4.
  • Logo o vetor normal é \vec{n}=(2,-4).
    (Observação: peguei esses coeficientes diretamente da equação da reta fornecida.)

Passo 4

Obter um vetor de direção da reta r.
  • Queremos um \vec{d} tal que \vec{n}\cdot\vec{d}=0.
  • Um modo simples é trocar as componentes e inverter o sinal de uma delas. Por exemplo, a escolha \vec{d}=(4,2) funciona porque
\vec{n}\cdot\vec{d}=2\cdot 4+(-4)\cdot 2=8-8=0.
  • Podemos simplificar \vec{d} dividindo por 2, obtendo \vec{d}=(2,1), que também é um vetor de direção da reta (vetores de direção podem ser multiplicados por escalares).

Passo 5

Teste de colinearidade entre \vec{v} e \vec{d} (método 1: procurar escalar k).
  • Suponha que exista k\in\mathbb{R} com \vec{v}=k\vec{d}.
  • Escrevendo coordenada a coordenada com \vec{v}=(-1,2) e \vec{d}=(2,1) temos o sistema
-1=2k,\qquad 2=1\cdot k.
  • Da segunda equação vem k=2. Da primeira viria k=-\tfrac{1}{2}. Esses valores são diferentes, logo não existe escalar k que satisfaça as duas equações simultaneamente.
  • Conclusão parcial: \vec{v} não é colinear com \vec{d}.

Passo 6

Teste alternativo (método 2: produto escalar com o normal).
  • Se \vec{v} fosse paralelo à reta, então \vec{v} seria perpendicular a \vec{n}, ou seja, \vec{v}\cdot\vec{n}=0.
  • Calculemos \vec{v}\cdot\vec{n} com \vec{v}=(-1,2) e \vec{n}=(2,-4):
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-1)\cdot 2 + 2\cdot(-4) = -2 -8 = -10.
  • O produto escalar é -10, que é diferente de 0. Portanto \vec{v} não é perpendicular ao normal \vec{n} e, por isso, não é paralelo à reta r.

Passo 7

Resumo do raciocínio (sem repetir a resposta final):
  • Não existe escalar k tal que \vec{v}=k\vec{d} para o vetor de direção \vec{d}=(2,1).
  • Além disso, \vec{v}\cdot\vec{n}=-10\neq 0.
    Ambas as verificações mostram que \vec{v} não satisfaz a condição necessária para ser paralelo à reta r.

Resposta

Não, \vec{v} não é paralelo a r.

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