Determine as equações do plano normal e osculador da curva no ponto dado: ( 2,0 pontos)
gamma(t)=(ln t, 2 t, t^2), p=(0,2,1)
sen^2 n

Passo 1

Entendido que precisamos achar as equações do plano normal e do plano osculador da curva parametrizada em um ponto dado. Isso envolve calcular o vetor tangente unitário T, o vetor normal principal N e o binormal B (quadro de Frenet) naquele ponto, e então usar esses vetores para escrever as equações dos planos.

Passo 2

Encontrar o parâmetro t0 tal que gamma(t0)=p. Resolvemos
ln t0=0, 2t0=2, t0^2=1
Da primeira igualdade vem t0=1, que satisfaz as outras duas.

Passo 3

Calcular o vetor velocidade gamma'(t) e o vetor tangente unitário T em t=1.
gamma'(t)=l(1t,2,2tr)
Em t=1:
gamma'(1)=(1,2,2), |gamma'(1)|=raiz1+4+4=3,
logo
T=gamma'(1)3=l(13,23,23r)

Passo 4

Calcular o vetor aceleração gamma''(t), seu produto escalar com T e o normal principal N.
gamma''(t)=l(-tfrac1t^2,0,2r)
Em t=1:
gamma''(1)=(-1,0,2), lang<=gamma''(1),Trang<==-tfrac13+0+tfrac43=1
O componente de gamma''(1) ortogonal a T é
gamma''(1)-lang<=gamma''(1),Trang<= T=l(-1,0,2r)-l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)=l(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r),
com norma 2. Assim
N=12l(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r)=l(-tfrac23,-tfrac13,tfrac23r)

Passo 5

Calcular o binormal B=Ttimes N. Fazendo o produto vetorial:
B=l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)timesl(-tfrac23,-tfrac13,tfrac23r)=l(tfrac23,-tfrac23,tfrac13r),
que é unitário.

Passo 6

Escrever as equações dos planos no ponto p=(0,2,1):
Para o plano normal, o vetor normal é T e a condição é
(x-0,y-2,z-1)cdotl(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)=0
Multiplicando por 3:
x+2(y-2)+2(z-1)=0 Longrightarrow x+2y+2z-6=0
Para o plano osculador, o vetor normal é B e a condição é
(x-0,y-2,z-1)cdotl(tfrac23,-tfrac23,tfrac13r)=0
Multiplicando por 3:
2x-2(y-2)+(z-1)=0 Longrightarrow 2x-2y+z+3=0

Resposta

Plano normal: x+2y+2z-6=0; Plano osculador: 2x-2y+z+3=0

Exercícios relacionados