Determine as equações do plano normal e osculador da curva no ponto dado: ( 2,0 pontos)
Passo 1
Entendido que precisamos achar as equações do plano normal e do plano osculador da curva parametrizada em um ponto dado. Isso envolve calcular o vetor tangente unitário
, o vetor normal principal
e o binormal
(quadro de Frenet) naquele ponto, e então usar esses vetores para escrever as equações dos planos.
Passo 2
Encontrar o parâmetro
tal que
. Resolvemos
Da primeira igualdade vem
, que satisfaz as outras duas.
Passo 3
Calcular o vetor velocidade
e o vetor tangente unitário
em
.
Em
:
logo
Passo 4
Calcular o vetor aceleração
, seu produto escalar com
e o normal principal
.
Em
:
O componente de
ortogonal a
é
com norma 2. Assim
Passo 5
Calcular o binormal
. Fazendo o produto vetorial:
que é unitário.
Passo 6
Escrever as equações dos planos no ponto
:
Para o plano normal, o vetor normal é e a condição é
Para o plano normal, o vetor normal é
Multiplicando por 3:
Para o plano osculador, o vetor normal é
e a condição é
Multiplicando por 3:
Resposta
Plano normal: x+2y+2z-6=0; Plano osculador: 2x-2y+z+3=0