Calcule a derivada da funcao trigonometrica: h(x)=sen(x) * cos (x)

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada da função trigonométrica h(x)=sin(x)cdotcos(x). O conteúdo envolvido é a regra do produto de derivadas e as derivadas básicas de sin(x) e cos(x).

Passo 2

Primeiro, lembramos as derivadas básicas de funções trigonométricas:
ddxl(sin(x)r)=cos(x),
ddxl(cos(x)r)=-sin(x)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto: se h(x)=u(x)cdot v(x), então
dhdx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
No nosso caso, definimos u(x)=sin(x) e v(x)=cos(x). Substituindo:
$$
h’(x)=\bigl(\sin(x)\bigr)’\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\bigl(\cos(x)\bigr)’.$$

Passo 4

Usando as derivadas básicas:
$$
h’(x)=\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr).$$

Passo 5

Isso simplifica para:
$$
h’(x)=\cos2(x)-\sin2(x).$$

Passo 6

Por fim, podemos usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)
Logo, a forma mais compacta da derivada é h'(x)=cos(2x).

Resposta

h'(x)=cos(2x)

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