Calcule a derivada da funcao trigonometrica:
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada da função trigonométrica
. O conteúdo envolvido é a regra do produto de derivadas e as derivadas básicas de
e
.
Passo 2
Primeiro, lembramos as derivadas básicas de funções trigonométricas:
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto: se
, então
No nosso caso, definimos
$$
h’(x)=\bigl(\sin(x)\bigr)’\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\bigl(\cos(x)\bigr)’.$$
Passo 4
Usando as derivadas básicas:
$$
h’(x)=\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr).$$
Passo 5
Isso simplifica para:
$$
h’(x)=\cos2(x)-\sin2(x).$$
Passo 6
Por fim, podemos usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
Logo, a forma mais compacta da derivada é