Determine as equações
Plano passando por P_{0}=(-1,3,1,2) gerado por \vec{v}_{1}= (1,0,1,3) e \vec{v}_{2}=(0,2,-1,4)

Passo 1

O enunciado dá um ponto e dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede as equações do plano que passa por esse ponto e é gerado por esses vetores.
Informações fornecidas:
  • Ponto P_{0}=(-1,3,1,2).
  • Vetores geradores \vec{v}_{1}=(1,0,1,3) e \vec{v}_{2}=(0,2,-1,4).
O que se pede:
  • Determinar as equações do plano afim que passa por P_{0} e cuja direção é dada por \mathrm{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
    Observação: vou fornecer a forma paramétrica (mais direta) e a forma cartesiana (sistema de equações lineares) do plano.

Passo 2

Conceito e forma paramétrica (a ideia):
  • Um plano afim em \mathbb{R}^4 que passa por P_{0} e é gerado por \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} é o conjunto
P = \{\, P_{0} + s\vec{v}_{1} + t\vec{v}_{2} \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Aqui s e t são parâmetros reais; cada par (s,t) dá um ponto do plano. Essa é a forma paramétrica padrão de um plano afim.

Passo 3

Verificar que \vec{v}_{1}\) e \(\vec{v}_{2}\) são linearmente independentes (para garantir que geram um plano 2D): - Suponha \(\alpha\vec{v}_{1}+\beta\vec{v}_{2}=\vec{0}\). Escrevendo componentes: \[\begin{cases} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 2 = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 1 + \beta\cdot(-1) = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 3 + \beta\cdot 4 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha=0\]. Da segunda vem \(\beta=0. Portanto \alpha=\beta=0 é a única solução, logo \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente independentes e realmente geram um subespaço de dimensão 2.]

Passo 4

Escrever explicitamente a forma paramétrica do plano usando s,t\in\mathbb{R}:
  • Usando a fórmula do passo 2, temos
P(s,t)=P_{0}+s\vec{v}_{1}+t\vec{v}_{2}.
Escrevendo componente a componente:
P(s,t)=\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)
onde
\begin{aligned} x_{1} &= -1 + s,\\[4pt] x_{2} &= 3 + 2t,\\[4pt] x_{3} &= 1 + s - t,\\[4pt] x_{4} &= 2 + 3s + 4t. \end{aligned}
Essa é a forma paramétrica do plano; na prova vale escrever
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=(-1,3,1,2)+s(1,0,1,3)+t(0,2,-1,4),\quad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Raciocínio para obter a forma cartesiana (equações lineares):
  • Em \mathbb{R}^4 um plano afim de dimensão 2 tem codimensão 2, logo pode ser descrito por um sistema de duas equações lineares independentes.
  • Essas equações podem ser obtidas encontrando vetores normais \mathbf{n} que sejam ortogonais a \vec{v}_{1} e a \vec{v}_{2}. Se \mathbf{n}\cdot\vec{v}_{1}=0 e \mathbf{n}\cdot\vec{v}_{2}=0, então \mathbf{n} é normal à direção do plano e a equação \mathbf{n}\cdot(x-P_{0})=0 é uma das equações do plano.

Passo 6

Encontrar vetores normais resolvendo o sistema para \mathbf{n}=(a,b,c,d):
  • Condições de ortogonalidade:
\mathbf{n}\cdot\vec{v}_{1}=a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 3 = 0,
\mathbf{n}\cdot\vec{v}_{2}=a\cdot 0 + b\cdot 2 + c\cdot(-1) + d\cdot 4 = 0.
Escrevendo:
\begin{aligned} a + c + 3d &= 0,\\[4pt] 2b - c + 4d &= 0. \end{aligned}
Temos duas equações e quatro incógnitas; escolhemos parâmetros para obter duas soluções independentes (base do espaço dos normais).]

Passo 7

Resolver o sistema de forma prática e escolher duas soluções simples:
  • Isolar a e b em função de c e d:
a = -c - 3d,\qquad b = \frac{c - 4d}{2}.
  • Escolhendo primeiro c=2,\\ d=0 (escolha conveniente para evitar frações):
a=-2,\quad b=1,\quad c=2,\quad d=0.
Logo um normal é \mathbf{n}_{1}=(-2,1,2,0).
  • Escolhendo depois c=0,\\ d=1:
a=-3,\quad b=-2,\quad c=0,\quad d=1.
Logo outro normal é \mathbf{n}_{2}=(-3,-2,0,1).
  • Verificação rápida (produto escalar com os geradores):
\mathbf{n}_{1}\cdot\vec{v}_{1}=(-2)\cdot 1 + 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 0\cdot 3 = -2+0+2+0=0,
\mathbf{n}_{1}\cdot\vec{v}_{2}=(-2)\cdot 0 + 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 0\cdot 4 = 0+2-2+0=0,
e
\mathbf{n}_{2}\cdot\vec{v}_{1}=(-3)\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 3 = -3+0+0+3=0,
\mathbf{n}_{2}\cdot\vec{v}_{2}=(-3)\cdot 0 + (-2)\cdot 2 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 4 = 0-4+0+4=0.
Portanto \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2} são normais ao plano.

Passo 8

Construir as equações cartesianas do plano usando \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2:
  • A equação geral é \mathbf{n}\cdot(x-P_{0})=0, que é equivalente a \mathbf{n}\cdot x = \mathbf{n}\cdot P_{0}.
  • Calcular os produtos \mathbf{n}_i\cdot P_{0}.
Para \mathbf{n}_{1}=(-2,1,2,0) e P_{0}=(-1,3,1,2):
\mathbf{n}_{1}\cdot P_{0}=(-2)(-1)+1\cdot 3 + 2\cdot 1 + 0\cdot 2 = 2+3+2+0=7.
Portanto a primeira equação é
-2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=7.
Para \mathbf{n}_{2}=(-3,-2,0,1):
\mathbf{n}_{2}\cdot P_{0}=(-3)(-1)+(-2)\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot 2 = 3-6+0+2=-1.
Portanto a segunda equação é
-3x_{1}-2x_{2}+x_{4}=-1.
Podemos, se preferir, multiplicar por -1 para obter coeficientes positivos à esquerda:
2x_{1}-x_{2}-2x_{3}=-7, \qquad 3x_{1}+2x_{2}-x_{4}=1.

Resposta

\text{Forma paramétrica: }\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=(-1,3,1,2)+s(1,0,1,3)+t(0,2,-1,4),\\ s,t\in\mathbb{R}.é
\text{Forma cartesiana (duas equações): }-2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=7,\\\ -3x_{1}-2x_{2}+x_{4}=-1.çõ

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