Determine as equações
Plano passando por
gerado por
e
Plano passando por
Passo 1
O enunciado dá um ponto e dois vetores em
e pede as equações do plano que passa por esse ponto e é gerado por esses vetores.
Informações fornecidas:
- Ponto
. - Vetores geradores
e .
O que se pede:
- Determinar as equações do plano afim que passa por
e cuja direção é dada por .
Observação: vou fornecer a forma paramétrica (mais direta) e a forma cartesiana (sistema de equações lineares) do plano.
Passo 2
Conceito e forma paramétrica (a ideia):
- Um plano afim em
que passa por e é gerado por é o conjunto
Aqui
e
são parâmetros reais; cada par
dá um ponto do plano. Essa é a forma paramétrica padrão de um plano afim.
Passo 3
Verificar que
Da primeira equação vem
. Portanto
é a única solução, logo
e
são linearmente independentes e realmente geram um subespaço de dimensão
.]
Passo 4
Escrever explicitamente a forma paramétrica do plano usando
:
- Usando a fórmula do passo 2, temos
Escrevendo componente a componente:
onde
Essa é a forma paramétrica do plano; na prova vale escrever
Passo 5
Raciocínio para obter a forma cartesiana (equações lineares):
- Em
um plano afim de dimensão tem codimensão , logo pode ser descrito por um sistema de duas equações lineares independentes. - Essas equações podem ser obtidas encontrando vetores normais
que sejam ortogonais a e a . Se e , então é normal à direção do plano e a equação é uma das equações do plano.
Passo 6
Encontrar vetores normais resolvendo o sistema para
:
- Condições de ortogonalidade:
Escrevendo:
Temos duas equações e quatro incógnitas; escolhemos parâmetros para obter duas soluções independentes (base do espaço dos normais).]
Passo 7
Resolver o sistema de forma prática e escolher duas soluções simples:
- Isolar
e em função de e :
- Escolhendo primeiro
(escolha conveniente para evitar frações):
Logo um normal é
.
- Escolhendo depois
:
Logo outro normal é
.
- Verificação rápida (produto escalar com os geradores):
e
Portanto
e
são normais ao plano.
Passo 8
Construir as equações cartesianas do plano usando
e
:
- A equação geral é
, que é equivalente a . - Calcular os produtos
.
Para
e
:
Portanto a primeira equação é
Para
:
Portanto a segunda equação é
Podemos, se preferir, multiplicar por
para obter coeficientes positivos à esquerda: