Determine equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a superfície implícita
e pede duas coisas no ponto
:
(a) a equação do plano tangente à superfície em
;
(b) a equação da reta normal à superfície em
.
Informações relevantes já fornecidas que vou usar: a equação que define a superfície e o ponto
onde precisamos calcular plano e reta.
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar a equação da superfície numa função implícita no formato
. Isso facilita usar derivadas parciais e o vetor gradiente, que apontará na direção normal ao plano tangente.
Defino
A superfície é o conjunto de pontos onde
.
Explicação curta do conceito que vou usar: o gradiente de
, denotado
, é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
e é sempre perpendicular (normal) à superfície de nível
. A equação do plano tangente em
é dada por
A reta normal tem direção dada por esse vetor gradiente e passa por
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Começo por
.
Temos
. Ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
(porque
é constante multiplicando
). Então
Passo 4
Agora
.
Ao derivar em relação a
,
e
são constantes. A derivada de
em relação a
é
(derivada de
é
). Assim
Passo 5
Agora
.
Derivando
em relação a
: a derivada de
é
. Para
, ao derivar
obtemos
, então a derivada de
é
. Somando as partes:
Pequena explicação da cadeia: derivada de
é
, e havia um menos na frente, por isso dá
.
Passo 6
Avaliar as derivadas parciais no ponto dado
.
Calcule
,
,
. Então
Portanto o vetor gradiente no ponto é
Passo 7
Encontrar a equação do plano tangente usando
Substituindo
temos
Simplificando:
Rearranjando para uma forma explícita,
ou isolando
,
Essa é a equação do plano tangente em forma explícita.
Passo 8
Construir a reta normal. A reta normal passa por
e tem direção dada por
.
Forma paramétrica (com parâmetro
):
(Isto vem de
.)
Forma simétrica (se preferir):
Resposta
(a)
(ou
)
(b) (paramétrica)
(b)