Determine equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
z+1=x e^{y} \cos z, (1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
z+1 = x e^{y} \cos z
e pede duas coisas no ponto (1,0,0):
(a) a equação do plano tangente à superfície em (1,0,0);
(b) a equação da reta normal à superfície em (1,0,0).
Informações relevantes já fornecidas que vou usar: a equação que define a superfície e o ponto (1,0,0) onde precisamos calcular plano e reta.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar a equação da superfície numa função implícita no formato F(x,y,z)=0. Isso facilita usar derivadas parciais e o vetor gradiente, que apontará na direção normal ao plano tangente.
Defino
F(x,y,z)=z+1 - x e^{y} \cos z.
A superfície é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0.
Explicação curta do conceito que vou usar: o gradiente de F, denotado \nabla F=(F_x,F_y,F_z), é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de F e é sempre perpendicular (normal) à superfície de nível F=0. A equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dada por
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
A reta normal tem direção dada por esse vetor gradiente e passa por (x_0,y_0,z_0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F. Começo por F_x.
Temos F(x,y,z)=z+1 - x e^{y} \cos z. Ao derivar em relação a x tratamos y e z como constantes. A derivada de x e^{y} \cos z em relação a x é e^{y}\cos z (porque e^{y}\cos z é constante multiplicando x). Então
F_x(x,y,z) = - e^{y} \cos z.

Passo 4

Agora F_y.
Ao derivar em relação a y, x e z são constantes. A derivada de x e^{y} \cos z em relação a y é x e^{y} \cos z (derivada de e^{y} é e^{y}). Assim
F_y(x,y,z) = - x e^{y} \cos z.

Passo 5

Agora F_z.
Derivando F em relação a z: a derivada de z+1 é 1. Para - x e^{y} \cos z, ao derivar \cos z obtemos -\sin z, então a derivada de - x e^{y} \cos z é - x e^{y}(-\sin z)= x e^{y}\sin z. Somando as partes:
F_z(x,y,z) = 1 + x e^{y} \sin z.
Pequena explicação da cadeia: derivada de \cos z é -\sin z, e havia um menos na frente, por isso dá +.

Passo 6

Avaliar as derivadas parciais no ponto dado (1,0,0).
Calcule e^{0}=1, \cos 0=1, \sin 0=0. Então
F_x(1,0,0) = - e^{0}\cos 0 = -1,
F_y(1,0,0) = - 1\cdot e^{0}\cos 0 = -1,
F_z(1,0,0) = 1 + 1\cdot e^{0}\sin 0 = 1 + 0 = 1.
Portanto o vetor gradiente no ponto é
\nabla F(1,0,0)=(-1,-1,1).

Passo 7

Encontrar a equação do plano tangente usando
\nabla F(1,0,0)\cdot (x-1,y-0,z-0)=0.
Substituindo \nabla F(1,0,0)=(-1,-1,1) temos
-1\cdot (x-1) -1\cdot y + 1\cdot z = 0.
Simplificando:
- x + 1 - y + z = 0.
Rearranjando para uma forma explícita,
- x - y + z + 1 = 0,
ou isolando z,
z = x + y - 1.
Essa é a equação do plano tangente em forma explícita.

Passo 8

Construir a reta normal. A reta normal passa por (1,0,0) e tem direção dada por \nabla F(1,0,0)=(-1,-1,1).
Forma paramétrica (com parâmetro t):
x(t)=1 - t,\quad y(t)= -t,\quad z(t)= t.
(Isto vem de (x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,-1,1).)
Forma simétrica (se preferir):
\frac{x-1}{-1}=\frac{y-0}{-1}=\frac{z-0}{1}.

Resposta

(a) -x - y + z + 1 = 0 \, (ou \,z = x + y - 1)
(b) x=1-t,\; y=-t,\; z=t (paramétrica)

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