Determine equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
y z=\ln (x+z), (0,0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida pela equação y z = \ln(x+z) e pede duas coisas no ponto (0,0,1): (a) a equação do plano tangente à superfície nesse ponto e (b) a equação da reta normal à superfície passando por esse ponto. Informações relevantes fornecidas: a expressão analítica da superfície y z = \ln(x+z) e o ponto (0,0,1) que devemos usar.

Passo 2

Vamos transformar a equação da superfície numa forma conveniente para aplicar conceitos de derivadas parciais. Definimos a função implícita F(x,y,z) por
F(x,y,z)=y z-\ln(x+z).
A superfície é o conjunto de pontos que satisfazem F(x,y,z)=0. Aqui a ideia importante (vou explicar direitinho) é que o vetor gradiente de F, isto é \nabla F=(F_x,F_y,F_z), é perpendicular (normal) à superfície num ponto. Portanto:
  • A equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dada por
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Nessa fórmula, F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F em relação a x,y,z; (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é o vetor que liga o ponto genérico (x,y,z) ao ponto (x_0,y_0,z_0).
  • A reta normal passa por (x_0,y_0,z_0) e tem direção \nabla F(x_0,y_0,z_0). Em forma paramétrica:
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0),\quad t\in\mathbb{R}.
Vou agora calcular \nabla F e aplicar essas fórmulas no ponto dado.

Passo 3

Primeiro verificamos que o ponto está na superfície. Substituindo (0,0,1) em y z = \ln(x+z) obtemos 0\cdot 1 = \ln(0+1) ou seja 0 = \ln(1)=0, portanto o ponto realmente pertence à superfície. Observação: a função \ln(x+z) exige x+z>0; aqui (0+1)=1>0, então está ok.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de F(x,y,z)=y z-\ln(x+z) uma por uma, explicando a regra usada:
  • Derivada parcial em relação a x: o termo y z é independente de x (trata-se como constante), então sua derivada é 0. Para \ln(x+z) usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) em relação a x é 1/u multiplicada por u_x. Aqui u(x,z)=x+z, então u_x=1. Logo
F_x(x,y,z) = 0 - \frac{1}{x+z} = -\frac{1}{x+z}.
  • Derivada parcial em relação a y: o termo y z tem derivada z (pois \partial(yz)/\partial y = z) e \ln(x+z) não depende de y, então
F_y(x,y,z)=z.
  • Derivada parcial em relação a z: para y z a derivada é y. Para \ln(x+z) aplicamos novamente a regra da cadeia; u_z=1, então a derivada é 1/(x+z). Como temos sinal negativo em F, fica
F_z(x,y,z)=y - \frac{1}{x+z}.

Passo 5

Avaliamos \nabla F no ponto (0,0,1). Substituindo (x,y,z)=(0,0,1) nas fórmulas parciais:
F_x(0,0,1) = -\frac{1}{0+1} = -1,
F_y(0,0,1) = z\Big|_{(0,0,1)} = 1,
F_z(0,0,1) = y - \frac{1}{x+z}\Big|_{(0,0,1)} = 0 - \frac{1}{1} = -1.
Portanto o vetor normal (gradiente) no ponto é
\nabla F(0,0,1)=(-1,\,1,\,-1).
Repare que esse vetor não é o vetor nulo, então faz sentido definir plano tangente e reta normal.

Passo 6

Montamos a equação do plano tangente usando a fórmula
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Com (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1) e \nabla F(0,0,1)=(-1,1,-1) obtemos
(-1,1,-1)\cdot (x-0,y-0,z-1)=0.
Fazendo o produto interno:
-1\cdot x + 1\cdot y -1\cdot (z-1)=0.
Desenvolvendo:
-x + y - z + 1 = 0.
Podemos multiplicar por -1 (ou reorganizar) para uma forma mais agradável:
x - y + z - 1 = 0,
ou explicitando z:
z = 1 - x + y.

Passo 7

Agora a reta normal: usamos a forma paramétrica com t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(0,0,1)+t(-1,1,-1).
Isto dá as equações paramétricas
x=-t,\qquad y=t,\qquad z=1-t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Em forma simétrica (usando as componentes do vetor direção) ficaria
\frac{x-0}{-1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-1}{-1}.
Observação: trocar o sinal do vetor direção (usar (1,-1,1)) também gera a mesma reta, apenas com parâmetro invertido.

Resposta

(a) -x+y-z+1=0
(b) x=-t,\;y=t,\;z=1-t,\;t\in\mathbb{R}

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