Como z_{0}=25, o ponto pertence à superfície: consistente.
Passo 3
Explicar o que são derivadas parciais e por que precisamos delas.
Derivada parcial em relação a x, \partial f/\partial x, mede a taxa de variação de z quando só x varia e y é mantido fixo.
Derivada parcial em relação a y, \partial f/\partial y, mede a taxa de variação de z quando só y varia e x é mantido fixo.
Para uma superfície dada por z=f(x,y), a equação do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) usa exatamente essas derivadas parciais avaliadas em (x_{0},y_{0}).
Agora calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}:
Interpretação: ao se mover uma unidade em x (mantendo y fixo) perto de P, z varia aproximadamente -16 unidades; ao se mover uma unidade em y (mantendo x fixo), z varia aproximadamente -18 unidades.
Passo 5
Fórmula do plano tangente para z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}):
x,y são variáveis de ponto genérico no plano tangente.
x_{0},y_{0},z_{0} coordenadas do ponto de tangência (aqui -2,-1,25).
\partial f/\partial x e \partial f/\partial y são as derivadas parciais avaliadas em (x_{0},y_{0}).
Substituindo os valores que achamos:
z-25 = (-16)(x-(-2))+(-18)(y-(-1)).
Simplificando os termos:
z-25 = -16(x+2)-18(y+1).
Expandindo:
z-25 = -16x-32-18y-18 = -16x-18y-50.
Somando 25 em ambos os lados:
z = -16x-18y-25.
Forma alternativa rearranjada (colocando tudo no lado esquerdo):
16x+18y+z+25=0.
Ambas representam o mesmo plano tangente.
Passo 6
Explicar como obter a reta normal e o vetor normal.
O vetor normal ao plano tangente é dado pelos coeficientes da equação do plano na forma A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0. Comparando com a forma usada para o plano tangente,