Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P :
z=4 x^{2}+9 y^{2} ; P=(-2,-1,25)

Passo 1

O enunciado dá a superfície e o ponto e pede duas coisas:
  • Superfície: z=4x^{2}+9y^{2}.
  • Ponto dado: P=(-2,-1,25).
O que é pedido:
  1. A equação do plano tangente à superfície no ponto P.
  2. A equação da reta normal (reta perpendicular ao plano tangente) que passa por P.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função que define a superfície é f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}, com z=f(x,y).
  • O ponto P tem coordenadas (x_{0},y_{0},z_{0})=(-2,-1,25).
  • Deve-se usar derivadas parciais para obter inclinações nas direções x e y.

Passo 2

Verificar rapidamente que P está mesmo sobre a superfície (é sempre bom checar):
f(-2,-1)=4(-2)^{2}+9(-1)^{2}=4\cdot4+9\cdot1=16+9=25.
Como z_{0}=25, o ponto pertence à superfície: consistente.

Passo 3

Explicar o que são derivadas parciais e por que precisamos delas.
  • Derivada parcial em relação a x, \partial f/\partial x, mede a taxa de variação de z quando só x varia e y é mantido fixo.
  • Derivada parcial em relação a y, \partial f/\partial y, mede a taxa de variação de z quando só y varia e x é mantido fixo.
Para uma superfície dada por z=f(x,y), a equação do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) usa exatamente essas derivadas parciais avaliadas em (x_{0},y_{0}).
Agora calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}(4x^{2})=8x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{d}{dy}(9y^{2})=18y.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_{0},y_{0})=(-2,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,-1)=8\cdot(-2)=-16, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(-2,-1)=18\cdot(-1)=-18.
Interpretação: ao se mover uma unidade em x (mantendo y fixo) perto de P, z varia aproximadamente -16 unidades; ao se mover uma unidade em y (mantendo x fixo), z varia aproximadamente -18 unidades.

Passo 5

Fórmula do plano tangente para z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}):
z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui cada símbolo significa:
  • x,y são variáveis de ponto genérico no plano tangente.
  • x_{0},y_{0},z_{0} coordenadas do ponto de tangência (aqui -2,-1,25).
  • \partial f/\partial x e \partial f/\partial y são as derivadas parciais avaliadas em (x_{0},y_{0}).
Substituindo os valores que achamos:
z-25 = (-16)(x-(-2))+(-18)(y-(-1)).
Simplificando os termos:
z-25 = -16(x+2)-18(y+1).
Expandindo:
z-25 = -16x-32-18y-18 = -16x-18y-50.
Somando 25 em ambos os lados:
z = -16x-18y-25.
Forma alternativa rearranjada (colocando tudo no lado esquerdo):
16x+18y+z+25=0.
Ambas representam o mesmo plano tangente.

Passo 6

Explicar como obter a reta normal e o vetor normal.
  • O vetor normal ao plano tangente é dado pelos coeficientes da equação do plano na forma A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0. Comparando com a forma usada para o plano tangente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})-(z-z_{0})=0,
vemos que um vetor normal é
\mathbf{n}=\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),\\ \tfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}),\\\ -1\bigr).
Substituindo os valores:
\mathbf{n}=(-16,\,-18,\,-1).
Qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{n} também é um vetor normal; por conveniência podemos usar (16,18,1) (trocar de sinal é permitido).

Passo 7

Equação da reta normal que passa por P.
Forma paramétrica da reta com direção \mathbf{d}=(16,18,1) e ponto inicial P=(-2,-1,25):
\begin{cases} x=-2+16t,\\[4pt] y=-1+18t,\\[4pt] z=25+1\cdot t=25+t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Forma simétrica (usando a mesma direção):
\frac{x+2}{16}=\frac{y+1}{18}=\frac{z-25}{1}.]

Resposta

Plano tangente: z=-16x-18y-25
Reta normal (paramétrica): x=-2+16t,\\ y=-1+18t,\\ z=25+t (ou forma simétrica \dfrac{x+2}{16}=\dfrac{y+1}{18}=\dfrac{z-25}{1}).

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