Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto
:
Passo 1
O enunciado dá a superfície implícita definida por
e o ponto
que pertence a essa superfície. As perguntas são:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto
. - Determinar a equação da reta normal (reta perpendicular ao plano tangente) que passa por
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação da superfície
(peguei isso do enunciado). - O ponto
(peguei isso do enunciado).
Passo 2
Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma superfície dada implicitamente por
, o vetor gradiente de ,
é um vetor normal à superfície em cada ponto onde as derivadas existem. Aqui “vetor normal” significa um vetor perpendicular ao plano tangente naquele ponto.
- A equação do plano tangente em
é obtida a partir do produto escalar do gradiente em com o vetor posição relativo:
Isto significa que qualquer vetor no plano tangente é ortogonal ao gradiente.
- A reta normal passa por
e tem direção dada pelo próprio gradiente em . Em forma paramétrica:
Vou aplicar essas fórmulas calcando primeiro as derivadas parciais para obter
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou fazer termo a termo, explicando:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a trata como constante, então é . Em relação a trata como constante, então é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . Termo constante tem derivada zero.
Portanto as derivadas parciais são:
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. Substituo
,
,
:
Logo o gradiente em
é
Este vetor é normal ao plano tangente no ponto
.
Passo 5
Construir a equação do plano tangente usando a fórmula do produto escalar. Com
e
:
Fazendo o produto escalar:
Agora desenvolvo e simplifico (passo a passo):
Somando as constantes
, obtemos
Posso multiplicar por
se preferir uma forma positiva em
:
Ambas representam o mesmo plano tangente.
Passo 6
Determinar a reta normal. A reta normal passa por
e tem direção
. Em forma vetorial:
Escrevendo em coordenadas paramétricas:
Resposta
Equação do plano tangente:
Equação da reta normal (forma paramétrica):