Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P :
x^{3}-2 x y+z^{3}+7 y+6=0 ; P=(1,3,-3)

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita definida por
F(x,y,z)=x^{3}-2xy+z^{3}+7y+6=0
e o ponto P=(1,3,-3) que pertence a essa superfície. As perguntas são:
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto P.
  • Determinar a equação da reta normal (reta perpendicular ao plano tangente) que passa por P.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação da superfície F(x,y,z)=0 (peguei isso do enunciado).
  • O ponto P=(1,3,-3) (peguei isso do enunciado).

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente de F,
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right),
é um vetor normal à superfície em cada ponto onde as derivadas existem. Aqui “vetor normal” significa um vetor perpendicular ao plano tangente naquele ponto.
  • A equação do plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0) é obtida a partir do produto escalar do gradiente em P com o vetor posição relativo:
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0\bigr)=0.
Isto significa que qualquer vetor no plano tangente é ortogonal ao gradiente.
  • A reta normal passa por P e tem direção dada pelo próprio gradiente em P. Em forma paramétrica:
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0),\quad t\in\mathbb{R}.
Vou aplicar essas fórmulas calcando primeiro as derivadas parciais para obter \nabla F.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F. Vou fazer termo a termo, explicando:
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Derivada de -2xy em relação a x trata y como constante, então é -2y. Em relação a y trata x como constante, então é -2x.
  • Derivada de z^{3} em relação a z é 3z^{2}.
  • Derivada de 7y em relação a y é 7. Termo constante 6 tem derivada zero.
Portanto as derivadas parciais são:
\frac{\partial F}{\partial x}=3x^{2}-2y, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-2x+7, \qquad \frac{\partial F}{\partial z}=3z^{2}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(1,3,-3). Substituo x=1, y=3, z=-3:
\frac{\partial F}{\partial x}(1,3,-3)=3\cdot1^{2}-2\cdot3=3-6=-3,
\frac{\partial F}{\partial y}(1,3,-3)=-2\cdot1+7=-2+7=5,
\frac{\partial F}{\partial z}(1,3,-3)=3\cdot(-3)^{2}=3\cdot9=27.
Logo o gradiente em P é
\nabla F(1,3,-3)=(-3,\,5,\,27).
Este vetor é normal ao plano tangente no ponto P.

Passo 5

Construir a equação do plano tangente usando a fórmula do produto escalar. Com \nabla F(1,3,-3)=(-3,5,27) e P=(1,3,-3):
(-3,5,27)\cdot\bigl(x-1,\,y-3,\,z+3\bigr)=0.
Fazendo o produto escalar:
-3(x-1)+5(y-3)+27(z+3)=0.
Agora desenvolvo e simplifico (passo a passo):
-3x+3+5y-15+27z+81=0.
Somando as constantes 3-15+81=69, obtemos
-3x+5y+27z+69=0.
Posso multiplicar por -1 se preferir uma forma positiva em x:
3x-5y-27z-69=0.
Ambas representam o mesmo plano tangente.

Passo 6

Determinar a reta normal. A reta normal passa por P=(1,3,-3) e tem direção \nabla F(1,3,-3)=(-3,5,27). Em forma vetorial:
(x,y,z)=(1,3,-3)+t(-3,5,27),\quad t\in\mathbb{R}.
Escrevendo em coordenadas paramétricas:
x=1-3t,\qquad y=3+5t,\qquad z=-3+27t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Equação do plano tangente:
-3x+5y+27z+69=0
Equação da reta normal (forma paramétrica):
x=1-3t,\quad y=3+5t,\quad z=-3+27t,\quad t\in\mathbb{R}

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