Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P : z=\ln (x y) ; P=\left(\frac{1}{2}, 2,0\right)
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto e pede duas coisas. Dados fornecidos:
Função: z=\ln(xy).
Ponto: P=\left(\tfrac{1}{2},2,0\right).
O que é pedido:
Equação do plano tangente ao gráfico de z=\ln(xy) no ponto P.
Equação da reta normal ao gráfico no ponto P.
Observação importante (dados úteis): o domínio de \ln(xy) exige xy>0. No ponto dado x=\tfrac{1}{2} e y=2 temos xy=1>0, logo o ponto está no domínio e tudo faz sentido.
Passo 2
Entender a função e simplificá‑la para facilitar derivação. Para x>0 e y>0 vale a identidade logarítmica
\ln(xy)=\ln x+\ln y.
Essa escrita facilita calcular derivadas parciais, porque a derivada de \ln x em relação a x é bem conhecida.
Passo 3
Explicar o que são derivadas parciais e por que precisamos delas. Para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) usa as derivadas parciais f_x(a,b) e f_y(a,b). A derivada parcial f_x é a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo; igualmente f_y é a taxa quando y muda e x fica fixo. A fórmula padrão do plano tangente (linearização) é
Essa é a equação do plano tangente em forma explícita z=\cdots. Podemos também escrever em forma padrão (todas as parcelas do mesmo lado), se preferir:
2x+\tfrac{1}{2}y-z-2=0
ou multiplicando por 2,
4x+y-2z-4=0.
Passo 6
Explicar e obter a reta normal. A normal ao gráfico em (a,b,f(a,b)) é dada pelo vetor normal ao plano tangente. Uma forma direta para o vetor normal é usar o gradiente da função definida por F(x,y,z)=f(x,y)-z; então
Qualquer múltiplo escalar também é direcção normal; por simplicidade podemos usar (2,\tfrac{1}{2},-1) como vetor diretor da reta normal.
Passo 7
Escrever a equação paramétrica e a forma simétrica da reta normal que passa por P. Usando parâmetro t e ponto inicial P\bigl(\tfrac{1}{2},2,0\bigr) com direção (2,\tfrac{1}{2},-1), a forma paramétrica é