Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P :
z=\ln (x y) ; P=\left(\frac{1}{2}, 2,0\right)

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto e pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • Função: z=\ln(xy).
  • Ponto: P=\left(\tfrac{1}{2},2,0\right).
O que é pedido:
  • Equação do plano tangente ao gráfico de z=\ln(xy) no ponto P.
  • Equação da reta normal ao gráfico no ponto P.
Observação importante (dados úteis): o domínio de \ln(xy) exige xy>0. No ponto dado x=\tfrac{1}{2} e y=2 temos xy=1>0, logo o ponto está no domínio e tudo faz sentido.

Passo 2

Entender a função e simplificá‑la para facilitar derivação. Para x>0 e y>0 vale a identidade logarítmica
\ln(xy)=\ln x+\ln y.
Essa escrita facilita calcular derivadas parciais, porque a derivada de \ln x em relação a x é bem conhecida.

Passo 3

Explicar o que são derivadas parciais e por que precisamos delas. Para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) usa as derivadas parciais f_x(a,b) e f_y(a,b). A derivada parcial f_x é a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo; igualmente f_y é a taxa quando y muda e x fica fixo. A fórmula padrão do plano tangente (linearização) é
z=f(a,b)+f_x(a,b)\bigl(x-a\bigr)+f_y(a,b)\bigl(y-b\bigr).
Agora calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=\ln(xy). Usando \ln(xy)=\ln x+\ln y ou pela regra da cadeia, obtemos
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{1}{x}, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac{1}{y}.
Explico rapidamente: derivando \ln x em relação a x 1/x; \ln y é tratado como constante quando derivamos em relação a x, e vice‑versa para f_y.

Passo 4

Avaliar as derivadas e a função no ponto P. Primeiro a própria função:
f\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\cdot 2\right)=\ln 1=0,
o que condiz com a componente z do ponto P.
Agora as derivadas parciais no ponto:
f_x\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2, \qquad f_y\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Montar o plano tangente usando a fórmula da linearização. Com a=\tfrac{1}{2}, b=2, f(a,b)=0, f_x(a,b)=2, f_y(a,b)=\tfrac{1}{2}, temos
z=0+2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)+\tfrac{1}{2}\bigl(y-2\bigr).
Simplificando a expressão:
z=2x-1+\tfrac{1}{2}y-1=2x+\tfrac{1}{2}y-2.
Essa é a equação do plano tangente em forma explícita z=\cdots. Podemos também escrever em forma padrão (todas as parcelas do mesmo lado), se preferir:
2x+\tfrac{1}{2}y-z-2=0
ou multiplicando por 2,
4x+y-2z-4=0.

Passo 6

Explicar e obter a reta normal. A normal ao gráfico em (a,b,f(a,b)) é dada pelo vetor normal ao plano tangente. Uma forma direta para o vetor normal é usar o gradiente da função definida por F(x,y,z)=f(x,y)-z; então
\nabla F=(f_x,f_y,-1).
No nosso caso, em P esse vetor vale
\mathbf{n}=\bigl(f_x(a,b),\,f_y(a,b),\,-1\bigr)=(2,\tfrac{1}{2},-1).
Qualquer múltiplo escalar também é direcção normal; por simplicidade podemos usar (2,\tfrac{1}{2},-1) como vetor diretor da reta normal.

Passo 7

Escrever a equação paramétrica e a forma simétrica da reta normal que passa por P. Usando parâmetro t e ponto inicial P\bigl(\tfrac{1}{2},2,0\bigr) com direção (2,\tfrac{1}{2},-1), a forma paramétrica é
\begin{cases} x=\tfrac{1}{2}+2t,\\[4pt] y=2+\tfrac{1}{2}t,\\[4pt] z=0-1\cdot t=-t. \end{cases}
A forma simétrica (quando denominadores não nulos) é
\frac{x-\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{y-2}{\tfrac{1}{2}}=\frac{z-0}{-1}.]

Passo 8

Cheque rápido (confirmação): substituindo x=\tfrac{1}{2}, y=2 nas fórmulas do plano e da reta recupera‑se z=0. Assim ambos passam por P, como devem.

Resposta

\displaystyle z=2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)+\tfrac{1}{2}\bigl(y-2\bigr)\) (ou \(\displaystyle z=2x+\tfrac{1}{2}y-2\))\n \(\displaystyle \text{Reta normal (paramétrica): }\begin{cases}x=\tfrac{1}{2}+2t,\\\ y=2+\tfrac{1}{2}t,\\\ z=-t.\end{cases}

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