Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto
:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto
da superfície dada:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície
em . - Determinar a equação da reta normal à superfície em
.
Informações fornecidas:
- A função que define a superfície é
com . - O ponto onde queremos o plano tangente e a reta normal é
.
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas parciais de
. Vou explicar o que são e como calcular:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a taxa de variação de quando varia e fica fixo. Para aplicamos as regras usuais de derivação em tratando como constante:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a taxa de variação de quando varia e fica fixo. Para :
Agora avaliamos essas parciais no ponto
:
Esses números (
e
) são as inclinações da superfície nas direções
e
naquele ponto.
Passo 3
Fórmula do plano tangente para uma superfície dada por
:
A aproximação linear (primeira ordem / desenvolvimento de Taylor) diz que o plano tangente em
é
Substituindo os valores encontrados:
Agora simplifico passo a passo:
Portanto uma forma explícita do plano tangente é
(Verificação rápida: ao substituir
,
obtemos
, que é
, ou seja, o ponto está no plano.)
Passo 4
Agora a reta normal. Explico a ideia: se a normal ao plano tangente tem vetor normal
, então a reta normal passa por
e tem direção
. Para superfícies
uma escolha natural de vetor normal em
é
Isto vem de considerar a função
(nível
) cujo gradiente
é ortogonal à superfície.
Usando os valores já calculados temos
A reta normal paramétrica que passa por
e tem direção
é, com parâmetro
,
Forma simétrica (quando aplicável) é
Passo 5
Resumo e dicas rápidas para a prova:
- Regra prática: para
, calcule e no ponto; o plano tangente é dado pela fórmula da linearização e a reta normal usa o vetor . - Sempre verifique que o ponto pertence ao plano (substitua) para evitar erro de cálculo.
- Em provas, escreva tanto a forma explícita do plano quanto a forma de equação normal se pedirem.