Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P :
z=4 x^{2}-y^{2} ; P=(5,-8,36)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto P=(5,-8,36) da superfície dada:
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície z=4x^{2}-y^{2} em P.
  • Determinar a equação da reta normal à superfície em P.
Informações fornecidas:
  • A função que define a superfície é z=f(x,y) com f(x,y)=4x^{2}-y^{2}.
  • O ponto onde queremos o plano tangente e a reta normal é P=(x_{0},y_{0},z_{0})=(5,-8,36).

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas parciais de f. Vou explicar o que são e como calcular:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando x varia e y fica fixo. Para f(x,y)=4x^{2}-y^{2} aplicamos as regras usuais de derivação em x tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(4x^{2}\big)=8x.
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada \dfrac{\partial f}{\partial y}, é a taxa de variação de f quando y varia e x fica fixo. Para f(x,y)=4x^{2}-y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{d}{dy}\big(-y^{2}\big)=-2y.
Agora avaliamos essas parciais no ponto (x_{0},y_{0})=(5,-8):
\frac{\partial f}{\partial x}(5,-8)=8\cdot 5=40, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(5,-8)=-2\cdot(-8)=16.
Esses números ( 40 e 16) são as inclinações da superfície nas direções x e y naquele ponto.

Passo 3

Fórmula do plano tangente para uma superfície dada por z=f(x,y):
A aproximação linear (primeira ordem / desenvolvimento de Taylor) diz que o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Substituindo os valores encontrados:
z-36=40(x-5)+16(y+8).
Agora simplifico passo a passo:
z-36=40x-200+16y+128,
z-36=40x+16y-72,
z=40x+16y-72+36,
z=40x+16y-36.
Portanto uma forma explícita do plano tangente é
\boxed{z=40x+16y-36}.
(Verificação rápida: ao substituir x=5, y=-8 obtemos z=40\cdot5+16\cdot(-8)-36=200-128-36=36, que é z_{0}, ou seja, o ponto está no plano.)

Passo 4

Agora a reta normal. Explico a ideia: se a normal ao plano tangente tem vetor normal \mathbf{n}, então a reta normal passa por P e tem direção \mathbf{n}. Para superfícies z=f(x,y) uma escolha natural de vetor normal em (x_{0},y_{0}) é
\mathbf{n}=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}),\;-1\bigg).
Isto vem de considerar a função F(x,y,z)=f(x,y)-z (nível 0) cujo gradiente \nabla F=(f_x,f_y,-1) é ortogonal à superfície.
Usando os valores já calculados temos
\mathbf{n}=(40,16,-1).
A reta normal paramétrica que passa por P=(5,-8,36) e tem direção \mathbf{n} é, com parâmetro t,
\begin{cases} x(t)=5+40t,\\[4pt] y(t)=-8+16t,\\[4pt] z(t)=36-1\cdot t=36-t. \end{cases}
Forma simétrica (quando aplicável) é
\frac{x-5}{40}=\frac{y+8}{16}=\frac{z-36}{-1}.]

Passo 5

Resumo e dicas rápidas para a prova:
  • Regra prática: para z=f(x,y), calcule f_x e f_y no ponto; o plano tangente é dado pela fórmula da linearização e a reta normal usa o vetor (f_x,f_y,-1).
  • Sempre verifique que o ponto pertence ao plano (substitua) para evitar erro de cálculo.
  • Em provas, escreva tanto a forma explícita do plano quanto a forma de equação normal se pedirem.

Resposta

\text{Plano tangente: } z=40x+16y-36
\text{Reta normal (paramétrica): } x=5+40t,\; y=-8+16t,\; z=36-té

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