Calcule a integral.
integral 3 x^2-6 x+22 x^3-3 x^2+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 3x^2-6x+22x^3-3x^2+x,dx. Isso envolve diagnóstico de conteúdo (integração por frações parciais) e vamos precisar fatorar o denominador e depois usar o método de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador 2x^3-3x^2+x. Colocando x em evidência: 2x^3-3x^2+x = xl(2x^2-3x+1r) Em seguida, a quadrática 2x^2-3x+1 também se fatora como (2x-1)(x-1). Logo, o denominador vira x(2x-1)(x-1).

Passo 3

Agora usamos decomposição em frações parciais: buscamos constantes A,B,C tais que 3x^2-6x+2x(2x-1)(x-1)=Ax+B2x-1+Cx-1 Multiplicando ambos os lados por x(2x-1)(x-1) e igualando coeficientes obtemos o sistema: 2A+B+2C=3,-3A -B -C=-6,A=2 Da última equação vem A=2. Substituindo nas outras, concluímos B=1 e C=-1.

Passo 4

Com os coeficientes em mãos, reescrevemos a integral como soma de termos simples: integral 3x^2-6x+22x^3-3x^2+x,dx=integral l(2x+12x-1-1x-1r)dx Cada parcela integra-se por logaritmo: integral 2x,dx=2ln|x|, integral 12x-1,dx=tfrac12ln|2x-1|, integral -1x-1,dx=-ln|x-1| Somando tudo, a primitiva geral é uma combinação de logs. Não esqueça da constante de integração.

Resposta

2\ln|x| + \tfrac12\ln|2x-1| - \ln|x-1| + C

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