Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y)=2 x y^2+x y-x^3+y^2 no ponto (1,2, f(1,2))

Passo 1

O enunciado nos dá o gráfico da função
f(x,y)=2xy^2+xy-x^3+y^2
e pede (a) a equação do plano tangente a esse gráfico no ponto (1,2,f(1,2)) e (b) a equação da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto. Para isso vamos calcular as derivadas parciais de f e avaliá-las em (1,2).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =2y^2+y-3x^2, partial fpartial y =4xy + x +2y

Passo 3

Avalie f e as derivadas em (1,2):
f(1,2)=2cdot1cdot2^2+1cdot2-1^3+2^2=8+2-1+4=13,
partial fpartial x(1,2) =2cdot2^2+2-3cdot1^2=8+2-3=7,
partial fpartial y(1,2) =4cdot1cdot2+1+2cdot2=8+1+4=13
Logo o ponto no gráfico é (1,2,13) e o gradiente de f em (1,2) é (7,13).

Passo 4

A equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) em (1,2,13) é
z =13 +7,(x-1) +13,(y-2)

Passo 5

No espaço (x,y,z), a reta normal ao gráfico é a que passa por (1,2,13) com direção dada pelo vetor normal ao plano tangente, isto é l(-fx(1,2),-fy(1,2),1r)=(-7,-13,1). Uma forma paramétrica é
x=1-7t, y=2-13t, z=13+t, tinR

Resposta

Equação do plano tangente:
z=13+7(x-1)+13(y-2)
Equação da reta normal (forma paramétrica):
x=1-7t, y=2-13t, z=13+t

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