Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
O conteúdo aqui é integração indefinida e verificação por derivação: vamos definir a função proposta como primitiva e mostrar que sua derivada é o integrando.
Passo 2
Definimos
Se
, a igualdade está verificada.
Passo 3
Chamemos
então o primeiro termo de
é
. Pela regra do quociente,
Calculamos
:
Logo o numerador fica
que, ao expandir e agrupar termos, resulta em
Passo 4
A derivada de
é
. Portanto
Passo 5
Unindo as frações sobre o mesmo denominador
, somamos ao numerador o termo
. A soma dos numeradores simplifica exatamente para
. Assim
que é o integrando original.
Resposta
A igualdade é válida, pois a derivada do lado direito recupera exatamente o integrando.