Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
integral x^2(x cos (x)-sen(x))^2 d x=xsen(x)[x cos (x)-sen(x)]-cot (x)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral x^2l(xcos(x)-sin(x)r)^2,dx =xsin(x),l(xcos(x)-sin(x)r)-cot(x)+C
O conteúdo aqui é integração indefinida e verificação por derivação: vamos definir a função proposta como primitiva e mostrar que sua derivada é o integrando.

Passo 2

Definimos
F(x)=xsin(x),l(xcos(x)-sin(x)r)-cot(x)
Se F'(x)=dfracx^2(xcos(x)-sin(x))^2, a igualdade está verificada.

Passo 3

Chamemos
D(x)=sin(x),l(xcos(x)-sin(x)r),
então o primeiro termo de F é xD(x). Pela regra do quociente,
ddx!l(tfracxDr) =D - x,D'D^2
Calculamos D':
D'=cos(x),(xcos(x)-sin(x))+sin(x),l(cos(x)-xsin(x)-cos(x)r) =xcos^2(x)-cos(x)sin(x)-xsin^2(x)
Logo o numerador fica
D - xD' =l(xsin(x)cos(x)-sin^2(x)r) -xl[x(cos^2(x)-sin^2(x))-cos(x)sin(x)r],
que, ao expandir e agrupar termos, resulta em
sin^2(x),(x^2-1)-x^2cos^2(x)+2xsin(x)cos(x)

Passo 4

A derivada de -cot(x) é csc^2(x)=1/sin^2(x). Portanto
F'(x) =sin^2(x),(x^2-1)-x^2cos^2(x)+2xsin(x)cos(x) sin^2(x),l(xcos(x)-sin(x)r)^2 +1sin^2(x)

Passo 5

Unindo as frações sobre o mesmo denominador sin^2(x),(xcos(x)-sin(x))^2, somamos ao numerador o termo (xcos(x)-sin(x))^2=x^2cos^2(x)-2xsin(x)cos(x)+sin^2(x). A soma dos numeradores simplifica exatamente para x^2sin^2(x). Assim
F'(x) =x^2sin^2(x)sin^2(x),(xcos(x)-sin(x))^2 =x^2(xcos(x)-sin(x))^2,
que é o integrando original.

Resposta

A igualdade é válida, pois a derivada do lado direito recupera exatamente o integrando.

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