Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de integração por partes, verificar:.
integral xarctg(x)raiz1+x^2 d x=raiz1+x^2 arctg(x)-ln |x+raiz1+x^2|+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
integral x,arctg(x)raiz1+x^2,dx =raiz1+x^2,arctg(x) -lnl|x+raiz1+x^2r|+C
Isso envolve o método de integração por partes, e também precisamos saber a primitiva de 1/raiz1+x^2.

Passo 2

Escolhemos as funções para integrar por partes como
u = arctg(x), dv = xraiz1+x^2,dx
Então
du = dx1+x^2, v = integral xraiz1+x^2,dx =raiz1+x^2,
pois ddxl(raiz1+x^2r)=tfracxraiz1+x^2.

Passo 3

Pela fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
temos
integral x,arctg(x)raiz1+x^2,dx =raiz1+x^2,arctg(x) -integral raiz1+x^2,dx1+x^2

Passo 4

Dentro do segundo integral aparece
integral raiz1+x^21+x^2,dx =integral dxraiz1+x^2,
e é conhecido que
integral dxraiz1+x^2 =lnl|x+raiz1+x^2r|+C

Passo 5

Substituindo de volta, chega-se a
integral x,arctg(x)raiz1+x^2,dx =raiz1+x^2,arctg(x) -lnl|x+raiz1+x^2r|+C,
exatamente a fórmula dada.

Resposta

A igualdade está correta.

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