Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
em (2,2,f(2,2)).
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto
.
Informações que temos (peguei estes valores do enunciado):
- A função:
. - O ponto na superfície é
com e . - Primeiro preciso calcular o valor de
nesse ponto:
Passo 2
O que é o plano tangente e como vamos encontrá-lo (explicação didática, sem pular passos).
- O gráfico de
é uma superfície em . O plano tangente em é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. - A fórmula padrão do plano tangente é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
- Intuição:
é a inclinação da superfície na direção do eixo quando fica fixo; é a inclinação na direção do eixo quando fica fixo. O plano tangente usa essas inclinações para formar a aproximação linear.
Para usar a fórmula precisamos calcular
e
e avaliá-las em
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (levando passo a passo).
- Primeiro calcule
. Temos . A parte que depende de é . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Produto: se
e
, então
.
-
. -
(regra da cadeia porque a derivada de é ).
Portanto
- Agora
. Só há a parte que depende de , cuja derivada é . Assim
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
e montar o plano tangente.
- Avaliando:
-
Já tínhamos
. -
Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com
, :
Substituindo os valores:
- Podemos simplificar essa expressão para uma forma mais “expandida”. Primeiro expandindo:
Agora agrupando termos constantes:
Logo
Essa é a equação do plano tangente numa forma explícita.
Passo 5
Reta normal: definição, direção e equações (passo a passo).
-
Intuição e definição: o vetor normal ao plano tangente é perpendicular ao plano tangente; a reta normal é a reta que passa pelo ponto e tem a direção desse vetor normal.
-
Para a superfície
-
A forma paramétrica da reta normal é então
onde (t] é o parâmetro real.
- Também se pode escrever a forma simétrica (quando os denominadores não são zero):
Resposta
Plano tangente:
ou, de forma expandida,
Reta normal (forma paramétrica):