Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
f(x, y)=x e x^{2}-y^{2} em (2,2,f(2,2)).

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f(x,y)=x e^{x^{2}}-y^{2}\, e pede as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto (2,2,f(2,2)).
Informações que temos (peguei estes valores do enunciado):
  • A função: \,f(x,y)=x e^{x^{2}}-y^{2}\,.
  • O ponto na superfície é (a,b,f(a,b)) com a=2 e b=2.
  • Primeiro preciso calcular o valor de f nesse ponto:
f(2,2)=2 e^{2^{2}}-2^{2}=2 e^{4}-4.

Passo 2

O que é o plano tangente e como vamos encontrá-lo (explicação didática, sem pular passos).
  • O gráfico de z=f(x,y) é uma superfície em \mathbb{R}^{3}. O plano tangente em (a,b,f(a,b)) é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto.
  • A fórmula padrão do plano tangente é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b),
onde \,f_x e \,f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
  • Intuição: f_x(a,b) é a inclinação da superfície na direção do eixo x quando y fica fixo; f_y(a,b) é a inclinação na direção do eixo y quando x fica fixo. O plano tangente usa essas inclinações para formar a aproximação linear.
Para usar a fórmula precisamos calcular f_x e f_y e avaliá-las em (2,2).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (levando passo a passo).
  • Primeiro calcule f_x(x,y). Temos f(x,y)=x e^{x^{2}}-y^{2}. A parte que depende de x é x e^{x^{2}}. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Produto: se u(x)=x e v(x)=e^{x^{2}}, então \,(uv)'=u'v+uv'.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=e^{x^{2}}\cdot(2x) (regra da cadeia porque a derivada de x^{2} é 2x).
Portanto
f_x(x,y)=1\cdot e^{x^{2}} + x\cdot\big(e^{x^{2}}\cdot 2x\big) = e^{x^{2}} + 2x^{2} e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\big(1+2x^{2}\big).
  • Agora f_y(x,y). Só há a parte -y^{2} que depende de y, cuja derivada é -2y. Assim
f_y(x,y)=-2y.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (2,2) e montar o plano tangente.
  • Avaliando:
f_x(2,2)=e^{2^{2}}\big(1+2\cdot 2^{2}\big)=e^{4}\big(1+2\cdot 4\big)=e^{4}\big(1+8\big)=9 e^{4}.
f_y(2,2)=-2\cdot 2=-4.
  • Já tínhamos f(2,2)=2 e^{4}-4.
  • Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com a=2, b=2:
z = f(2,2) + f_x(2,2)\,(x-2) + f_y(2,2)\,(y-2).
Substituindo os valores:
z = 2 e^{4}-4 + 9 e^{4}\,(x-2) -4\,(y-2).
  • Podemos simplificar essa expressão para uma forma mais “expandida”. Primeiro expandindo:
z = 2 e^{4}-4 + 9 e^{4}x -18 e^{4} -4y +8.
Agora agrupando termos constantes:
2 e^{4}-18 e^{4} = -16 e^{4},\qquad -4+8 = 4.
Logo
z = 9 e^{4}\,x -4\,y -16 e^{4} +4.
Essa é a equação do plano tangente numa forma explícita.

Passo 5

Reta normal: definição, direção e equações (passo a passo).
  • Intuição e definição: o vetor normal ao plano tangente é perpendicular ao plano tangente; a reta normal é a reta que passa pelo ponto e tem a direção desse vetor normal.
  • Para a superfície z=f(x,y)\) é comum considerar a função \(F(x,y,z)=f(x,y)-z\). O vetor gradiente \(\nabla F=(f_x,f_y,-1)\) é normal à superfície (e ao plano tangente) em qualquer ponto. - Portanto um vetor diretor da reta normal em \((2,2,f(2,2))\) é \[\mathbf{n}=\big(f_x(2,2),\,f_y(2,2),\,-1\big) = \big(9 e^{4},\,-4,\,-1\big).
  • A forma paramétrica da reta normal é então
\begin{cases} x(t) = 2 + 9 e^{4}\,t,\\[4pt] y(t) = 2 - 4\,t,\\[4pt] z(t) = \big(2 e^{4}-4\big) - t, \end{cases}
onde (t] é o parâmetro real.
  • Também se pode escrever a forma simétrica (quando os denominadores não são zero):
\frac{x-2}{9 e^{4}} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-(2 e^{4}-4)}{-1}.]

Resposta

Plano tangente:
z = 2 e^{4}-4 + 9 e^{4}\,(x-2) -4\,(y-2)
ou, de forma expandida,
z = 9 e^{4}\,x -4\,y -16 e^{4} +4.
Reta normal (forma paramétrica):
\begin{cases} x(t) = 2 + 9 e^{4}\,t,\\[4pt] y(t) = 2 - 4\,t,\\[4pt] z(t) = 2 e^{4}-4 - t. \end{cases}]

Exercícios relacionados