Um analista calculou dois intervalos de confiança para o mesmo conjunto de dados (população normal com \sigma desconhecido):
Intervalo A: [45,2; 54,8] Intervalo B: [43,1; 56,9]
Um dos intervalos foi calculado com 90 \% de confiança e o outro com 95 \%. Identifique qual é qual, justificando sua resposta com base na relação entre nível de confiança e precisão.

Passo 1

O enunciado dá dois intervalos de confiança calculados para o mesmo conjunto de dados (população normal, \sigma desconhecido). Os intervalos são:
  • Intervalo A: [45,2; 54,8].
  • Intervalo B: [43,1; 56,9].
A pergunta é: um dos intervalos foi calculado com 90\% de confiança e o outro com 95\%. Identificar qual é qual e justificar usando a relação entre nível de confiança e precisão.

Passo 2

Vamos extrair algumas informações numéricas óbvias dos intervalos (peguei esses números do enunciado).
  • Centro (média pontual) de A: \dfrac{45,2+54,8}{2}=50.
  • Centro (média pontual) de B: \dfrac{43,1+56,9}{2}=50.
Observação importante: os dois intervalos estão centrados no mesmo valor \bar{x}=50. Isso confirma que foram feitos com os mesmos dados (mesma \bar{x}) — o que muda entre os intervalos é a “meia‑largura” (o quanto se afasta do centro).

Passo 3

Calcular as larguras e as meias‑larguras:
  • Largura do intervalo A: 54,8-45,2=9,6. Meia‑largura M_A=\dfrac{9,6}{2}=4,8.
  • Largura do intervalo B: 56,9-43,1=13,8. Meia‑largura M_B=\dfrac{13,8}{2}=6,9.
Portanto M_B> M_A; o intervalo B é mais largo (menos preciso) que o A.

Passo 4

Agora a teoria (bem mastigada). Quando \sigma é desconhecido e os dados vêm de uma população normal, o intervalo de confiança para a média tem a forma
\bar{x}\pm t_{n-1,\;\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=50);
  • s é o desvio‑padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{n-1,\;\alpha/2} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade correspondente à cauda \alpha/2;
  • o nível de confiança é 1-\alpha (por exemplo, 90\% corresponde a \alpha=0,10, 95\% a \alpha=0,05).
A meia‑largura do intervalo (o termo de precisão) é
M = t_{n-1,\;\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.

Passo 5

Propriedade essencial (explicada): para os mesmos dados, isto é, com o mesmo s e n (como é o caso aqui porque os intervalos vêm do mesmo conjunto de dados),
  • a única coisa que varia quando se muda o nível de confiança 1-\alpha é o fator t_{n-1,\;\alpha/2};
  • t_{n-1,\;\alpha/2} é crescente quando o nível de confiança aumenta (porque precisa truncar menos probabilidade nas caudas para cobrir mais área central);
  • portanto, níveis de confiança maiores geram meias‑larguras M maiores e intervalos mais largos.
Em palavras simples: se você quer ter mais confiança, tem que aceitar um intervalo menos preciso (mais largo). Se aceita menos confiança, o intervalo fica mais preciso (mais estreito).

Passo 6

Aplicando isso aos intervalos dados:
  • Ambos têm o mesmo \bar{x}=50, então s e n devem ser os mesmos nos dois cálculos.
  • Como M_B=6,9 é maior que M_A=4,8, isso significa que o fator t usado para B foi maior do que o usado para A.
  • Logo o nível de confiança usado para B é maior do que o usado para A.

Passo 7

Comparando os níveis pedidos ( 90\% e 95\%): 95\% é maior que 90\%. Pelo argumento anterior, o intervalo com maior nível de confiança deve ser o mais largo. Como o intervalo B é o mais largo, B corresponde a 95\% e A a 90\%.

Passo 8

Resumo conceitual (para gravar para a prova): quando \sigma é desconhecido,
\text{largura do IC} = 2\cdot t_{n-1,\;\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Com os mesmos dados ( s e n fixos), a largura é diretamente controlada por t_{n-1,\;\alpha/2}, que aumenta com a confiança. Portanto maior confiança → intervalo mais largo → menos precisão; menor confiança → intervalo mais estreito → mais precisão.

Resposta

Intervalo A: 90\%
Intervalo B: 95\%

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