Um analista calculou dois intervalos de confiança para o mesmo conjunto de dados (população normal com
desconhecido):
Intervalo A: [45,2; 54,8] Intervalo B: [43,1; 56,9]
Um dos intervalos foi calculado com
de confiança e o outro com
. Identifique qual é qual, justificando sua resposta com base na relação entre nível de confiança e precisão.
Um dos intervalos foi calculado com
Passo 1
O enunciado dá dois intervalos de confiança calculados para o mesmo conjunto de dados (população normal,
desconhecido). Os intervalos são:
- Intervalo A:
. - Intervalo B:
.
A pergunta é: um dos intervalos foi calculado com
de confiança e o outro com
. Identificar qual é qual e justificar usando a relação entre nível de confiança e precisão.
Passo 2
Vamos extrair algumas informações numéricas óbvias dos intervalos (peguei esses números do enunciado).
- Centro (média pontual) de A:
. - Centro (média pontual) de B:
.
Observação importante: os dois intervalos estão centrados no mesmo valor
. Isso confirma que foram feitos com os mesmos dados (mesma
) — o que muda entre os intervalos é a “meia‑largura” (o quanto se afasta do centro).
Passo 3
Calcular as larguras e as meias‑larguras:
- Largura do intervalo A:
. Meia‑largura . - Largura do intervalo B:
. Meia‑largura .
Portanto
; o intervalo B é mais largo (menos preciso) que o A.
Passo 4
Agora a teoria (bem mastigada). Quando
é desconhecido e os dados vêm de uma população normal, o intervalo de confiança para a média tem a forma
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio‑padrão amostral; -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição de Student com graus de liberdade correspondente à cauda ; - o nível de confiança é
(por exemplo, corresponde a , a ).
A meia‑largura do intervalo (o termo de precisão) é
Passo 5
Propriedade essencial (explicada): para os mesmos dados, isto é, com o mesmo
e
(como é o caso aqui porque os intervalos vêm do mesmo conjunto de dados),
- a única coisa que varia quando se muda o nível de confiança
é o fator ; -
é crescente quando o nível de confiança aumenta (porque precisa truncar menos probabilidade nas caudas para cobrir mais área central); - portanto, níveis de confiança maiores geram meias‑larguras
maiores e intervalos mais largos.
Em palavras simples: se você quer ter mais confiança, tem que aceitar um intervalo menos preciso (mais largo). Se aceita menos confiança, o intervalo fica mais preciso (mais estreito).
Passo 6
Aplicando isso aos intervalos dados:
- Ambos têm o mesmo
, então e devem ser os mesmos nos dois cálculos. - Como
é maior que , isso significa que o fator usado para B foi maior do que o usado para A. - Logo o nível de confiança usado para B é maior do que o usado para A.
Passo 7
Comparando os níveis pedidos (
e
):
é maior que
. Pelo argumento anterior, o intervalo com maior nível de confiança deve ser o mais largo. Como o intervalo B é o mais largo, B corresponde a
e A a
.
Passo 8
Resumo conceitual (para gravar para a prova): quando
é desconhecido,
Com os mesmos dados (
e
fixos), a largura é diretamente controlada por
, que aumenta com a confiança. Portanto maior confiança → intervalo mais largo → menos precisão; menor confiança → intervalo mais estreito → mais precisão.
Resposta
Intervalo A:
Intervalo B:
Intervalo B: