Uma seguradora observou n=15 sinistros de automóveis e obteve \sum x_{i}=30.000 e \sum x_{i}^{2}=64.000 .000.
(a) Quais os requisitos para se construir um IC para a média nesse caso?
(b) Calcule a média amostral (\bar{x}) e o desvio padrão amostral (s).
(c) Determine o IC de 95 \% para o custo médio dos sinistros, assumindo que a população é normal.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
  • Dados amostrais: n=15, \sum x_i = 30.000 e \sum x_i^2 = 64.000.000.
  • Perguntas:
    (a) Quais os requisitos para construir um intervalo de confiança (IC) para a média neste caso?
    (b) Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio padrão amostral s.
    (c) Determinar o IC de 95\% para o custo médio dos sinistros, assumindo que a população é normal.

Passo 2

Requisitos teóricos para construir um IC para a média (resposta a (a)) — explicação didática e sem jargões:
  • Amostragem e independência: as observações x_1,\dots,x_n devem ser independentes e idealmente provenientes de uma amostra aleatória da população. Isso garante que as fórmulas de variância e distribuições sejam válidas.
  • Forma da população / tamanho da amostra:
    • Se a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (caso típico), usa-se o IC baseado na distribuição t de Student. Para que esse IC seja válido é necessário que a população seja aproximadamente normal quando n é pequeno.
    • Se n for grande (regra prática: n grande, tipo n\geq 30), pela aproximação do TCL a normal, pode-se usar o IC mesmo que a população não seja exatamente normal.
  • Conclusão prática para este exercício: como n=15 (pequeno) e não foi dada \sigma, o requisito para usar o IC com t é que a população seja aproximadamente normal. Também é necessário assumir independência da amostra.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x} — explicação da fórmula e aplicação (resposta a (b), primeira parte):
  • Fórmula: \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, onde \bar{x} é a média amostral, n é o tamanho da amostra e \sum x_i é a soma das observações.
  • Aplicando os números fornecidos: \bar{x}=\frac{30.000}{15}=2.000.
Interpretação rápida: o custo médio observado na amostra é \, 2.000 (mesma unidade dos x_i).

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s — definindo fórmulas e calculando passo a passo (resposta a (b), segunda parte):
  • Definição (forma usual): s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2, onde s^2 é a variância amostral e s é o desvio padrão amostral.
  • Fórmula computacional equivalente (útil quando se tem \sum x_i^2): s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\Biggr).
Aqui \sum x_i^2 vem do enunciado e \bar{x} foi calculada no passo anterior.
  • Calculando os termos numéricos:
    • Primeiro calcule n\bar{x}^2: n\bar{x}^2 = 15 \times (2.000)^2 = 15 \times 4.000.000 = 60.000.000.
    • Subtrair de \sum x_i^2: \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 64.000.000 - 60.000.000 = 4.000.000.
    • Dividir por n-1=14: s^2 = \frac{4.000.000}{14} = 285.714{,}285714\ldots
    • Desvio padrão amostral: s=\sqrt{s^2}=\sqrt{285.714{,}2857\ldots}\approx 534{,}5225.
  • Resultado arredondado: s\approx 534{,}52.

Passo 5

Construção do IC de 95\% para a média (resposta a (c)) — teoria, escolha da distribuição e cálculo:
  • Como \sigma é desconhecida e n=15 (pequena), e o enunciado pede “assumindo que a população é normal”, usa-se o IC baseado na distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
  • Fórmula geral do IC com t: \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}, onde:
    • \bar{x} é a média amostral;
    • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade correspondente à cauda superior de probabilidade \alpha/2;
    • s é o desvio padrão amostral;
    • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra;
    • Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e 1-\alpha/2=0{,}975.
  • Valores numéricos:
    • Graus de liberdade: n-1=14.
    • Valor de tabela: t_{0{,}975,14}\approx 2{,}144786 (valor tabelado ou calculadora).
    • Erro padrão da média (standard error): \frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{534{,}5225}{\sqrt{15}}=\frac{534{,}5225}{3{,}872983346}\approx 138{,}0280.
    • Margem de erro: t_{0{,}975,14}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}144786\times 138{,}0280\approx 296{,}198.
  • Intervalo de confiança: \bar{x}\pm \text{margem} \quad\Longrightarrow\quad 2.000 \pm 296{,}198.
  • Calculando os limites e arredondando a duas casas decimais:
    • Limite inferior: 2.000 - 296{,}20 = 1.703{,}80.
    • Limite superior: 2.000 + 296{,}20 = 2.296{,}20.
  • Interpretação curta: com 95\% de confiança, o custo médio dos sinistros está entre aproximadamente 1.703{,}80 e 2.296{,}20, sob a suposição de normalidade da população.

Passo 6

Observações finais e incentivo (rápido):
  • Se houver dúvida sobre a normalidade da população (outliers, assimetria forte), esse IC pode não ser totalmente confiável; para n pequeno a normalidade importa. Se tivesse n grande, a normalidade seria menos crítica por causa do TCL.
  • Bom trabalho: esses passos (média, variância via soma dos quadrados, IC com t) são padrão em provas — decore as fórmulas e pratique um ou dois exemplos para ganhar fluidez. Você já fez o mais importante: organizar os dados e aplicar as fórmulas com cuidado.

Resposta

(a) Observações independentes (amostra aleatória) e, como n=15 é pequeno e \sigma é desconhecida, é necessário assumir que a população é aproximadamente normal para usar o IC baseado na t de Student; caso contrário, para n grande vale o TCL.
(b) \bar{x}=2.000, \;s\approx 534{,}52.
(c) IC de 95\% para a média: [1.703{,}80,\;2.296{,}20].

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