Uma seguradora observou
sinistros de automóveis e obteve
e
.
(a) Quais os requisitos para se construir um IC para a média nesse caso?
(b) Calcule a média amostral
e o desvio padrão amostral
.
(c) Determine o IC de
para o custo médio dos sinistros, assumindo que a população é normal.
(a) Quais os requisitos para se construir um IC para a média nesse caso?
(b) Calcule a média amostral
(c) Determine o IC de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
- Dados amostrais:
, e . - Perguntas:
(a) Quais os requisitos para construir um intervalo de confiança (IC) para a média neste caso?
(b) Calcular a média amostrale o desvio padrão amostral .
(c) Determinar o IC depara o custo médio dos sinistros, assumindo que a população é normal.
Passo 2
Requisitos teóricos para construir um IC para a média (resposta a (a)) — explicação didática e sem jargões:
- Amostragem e independência: as observações
devem ser independentes e idealmente provenientes de uma amostra aleatória da população. Isso garante que as fórmulas de variância e distribuições sejam válidas. - Forma da população / tamanho da amostra:
- Se a variância populacional
é desconhecida (caso típico), usa-se o IC baseado na distribuição de Student. Para que esse IC seja válido é necessário que a população seja aproximadamente normal quando é pequeno. - Se
for grande (regra prática: grande, tipo ), pela aproximação do TCL a normal, pode-se usar o IC mesmo que a população não seja exatamente normal.
- Se a variância populacional
- Conclusão prática para este exercício: como
(pequeno) e não foi dada , o requisito para usar o IC com é que a população seja aproximadamente normal. Também é necessário assumir independência da amostra.
Passo 3
Cálculo da média amostral
— explicação da fórmula e aplicação (resposta a (b), primeira parte):
- Fórmula:
onde é a média amostral, é o tamanho da amostra e é a soma das observações. - Aplicando os números fornecidos:
Interpretação rápida: o custo médio observado na amostra é
(mesma unidade dos
).
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral
— definindo fórmulas e calculando passo a passo (resposta a (b), segunda parte):
- Definição (forma usual):
onde é a variância amostral e é o desvio padrão amostral. - Fórmula computacional equivalente (útil quando se tem
):
Aqui
vem do enunciado e
foi calculada no passo anterior.
- Calculando os termos numéricos:
- Primeiro calcule
: - Subtrair de
: - Dividir por
: - Desvio padrão amostral:
- Primeiro calcule
- Resultado arredondado:
.
Passo 5
Construção do IC de
para a média (resposta a (c)) — teoria, escolha da distribuição e cálculo:
- Como
é desconhecida e (pequena), e o enunciado pede “assumindo que a população é normal”, usa-se o IC baseado na distribuição de Student com graus de liberdade. - Fórmula geral do IC com
: onde: -
é a média amostral; -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade correspondente à cauda superior de probabilidade ; -
é o desvio padrão amostral; -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; - Para
de confiança, e .
-
- Valores numéricos:
- Graus de liberdade:
. - Valor de tabela:
(valor tabelado ou calculadora). - Erro padrão da média (standard error):
- Margem de erro:
- Graus de liberdade:
- Intervalo de confiança:
- Calculando os limites e arredondando a duas casas decimais:
- Limite inferior:
. - Limite superior:
.
- Limite inferior:
- Interpretação curta: com
de confiança, o custo médio dos sinistros está entre aproximadamente e , sob a suposição de normalidade da população.
Passo 6
Observações finais e incentivo (rápido):
- Se houver dúvida sobre a normalidade da população (outliers, assimetria forte), esse IC pode não ser totalmente confiável; para
pequeno a normalidade importa. Se tivesse grande, a normalidade seria menos crítica por causa do TCL. - Bom trabalho: esses passos (média, variância via soma dos quadrados, IC com
) são padrão em provas — decore as fórmulas e pratique um ou dois exemplos para ganhar fluidez. Você já fez o mais importante: organizar os dados e aplicar as fórmulas com cuidado.
Resposta
(a) Observações independentes (amostra aleatória) e, como
é pequeno e
é desconhecida, é necessário assumir que a população é aproximadamente normal para usar o IC baseado na
de Student; caso contrário, para
grande vale o TCL.
(b) ,
.
(c) IC de para a média:
.
(b)
(c) IC de