Determine a equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f dada por f(x, y)=x y no ponto \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\right)
\begin{aligned} & d x \rightarrow y \rightarrow \frac{1}{2} \\\ & d y \rightarrow x \rightarrow \frac{1}{2} \\\ & f(x, y) x y \rightarrow \frac{1}{4} \end{aligned}
Reta normal
(x, y, z)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)+\lambda\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-1\right)
Plono tg
\begin{aligned} & z-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right) \\\ & z=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} y-\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\\ & z=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} y-\frac{1}{4} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal à superfície definida por f(x,y)=xy no ponto \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,f(\tfrac12,\tfrac12)\bigr). Para isso, vamos usar as derivadas parciais de f e a fórmula do plano tangente
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0)
e depois extrair o vetor normal \bigl(f_x,f_y,-1\bigr) para escrever a reta normal parametricamente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x\,y:
f_x(x,y)=y,\quad f_y(x,y)=x.
No ponto \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) isso dá
f_x\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr)=\tfrac12, \quad f_y\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr)=\tfrac12,
e z_0=f(\tfrac12,\tfrac12)=\tfrac14.

Passo 3

Substituindo na fórmula do plano tangente obtemos
z - \tfrac14 = \tfrac12\,(x - \tfrac12) + \tfrac12\,(y - \tfrac12).
Simplificando,
z = \tfrac12\,x + \tfrac12\,y - \tfrac14.

Passo 4

O vetor normal ao plano é
\bigl(f_x,f_y,-1\bigr) = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,-1\bigr).
A reta normal passa por \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac14\bigr) e tem direção \bigl(\tfrac12,\tfrac12,-1\bigr), logo sua forma paramétrica é
(x,y,z) = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac14\bigr) + \lambda\,\bigl(\tfrac12,\tfrac12,-1\bigr).

Resposta

Plano tangente:
z = \tfrac12\,x + \tfrac12\,y - \tfrac14
Reta normal:
(x,y,z) = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac14\bigr) + \lambda\,\bigl(\tfrac12,\tfrac12,-1\bigr).

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