1- ( 2,5 pontos) Ao usar o método das variáveis repetidas em um problema, determina-se que um dos \Pi s independentes é dado pelo produto entre a variável independente temperatura T[K], e as variáveis repetidas velocidade V[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] e calor específico a pressão constante c_{p}[J / \mathrm{kg} . \mathrm{K}]. Lembrando que os \Pi s são dados pelo produto das dimensões primárias elevadas na potência zero, determine este \Pi independente.

Passo 1

O enunciado pede para usar análise dimensional (método de variáveis repetidas) e formar um grupo adimensional \Pi a partir da variável independente temperatura T [\mathrm{K}] e das variáveis repetidas velocidade V [\mathrm{m/s}] e calor específico a pressão constante c_{p} [\mathrm{J/(kg\cdot K)}].

Passo 2

Identificamos as dimensões primárias de cada variável na notação \mathrm{M} (massa), \mathrm{L} (comprimento), \mathrm{T} (tempo) e \Theta (temperatura):
Témperaura T: \displaystyle [T]=\Theta
Velocidade V: \displaystyle [V]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}
Calor específico c_{p}: \displaystyle [c_{p}]=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\,\Theta}=\frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{kg}\,\Theta}=\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-2}\,\Theta^{-1}

Passo 3

Montamos o produto geral
\Pi = T^a\,V^b\,c_p^c
e exigimos que as potências de \mathrm{L}, \mathrm{T} e \Theta fiquem nulas, tornando \Pi adimensional.

Passo 4

Escrevemos as equações de balanceamento de expoentes:
Para \mathrm{L}:
b + 2c = 0
Para \mathrm{T}:
-\,b - 2c = 0
Para \Theta:
a - c = 0

Passo 5

Do balanço em \Theta segue a = c.
Substituindo em \mathrm{L} e \mathrm{T} temos
b + 2c = 0,\quad -b - 2c = 0
ambas dão b = -2c.
Escolhendo a escala c = 1 (única liberdade), obtemos
a = 1,\quad b = -2,\quad c = 1.

Resposta

\Pi = \frac{c_{p}\,T}{V^{2}}.

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