e o ponto P(3,-5,2) pertencente a essa superfície. Pede-se:
A equação do plano tangente à superfície no ponto P.
A equação da reta normal à superfície que passa por P.
Informações relevantes fornecidas: a equação implícita da superfície e as coordenadas do ponto P.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): para uma superfície dada implicitamente por uma equação
F(x,y,z)=0,
o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é perpendicular (normal) à superfície em cada ponto. Isso acontece porque, se considerarmos uma curva qualquer \mathbf{r}(t) contida na superfície e passando por P, temos F(\mathbf{r}(t))=0 para todo t. Derivando em relação a t obtemos
Como \mathbf{r}'(t) é um vetor tangente à superfície, sua escalar com \nabla F é 0, ou seja, \nabla F é ortogonal a todos os vetores tangentes — logo é um vetor normal à superfície. Esse vetor normal é o que usamos para escrever a equação do plano tangente e para dar a direção da reta normal.
Passo 3
Defino a função F correspondente à superfície retirando o 1 para obter uma forma F(x,y,z)=0. Assim:
Explanação rápida: deriva-se termo a termo; por exemplo, para \dfrac{x^{2}}{9} usamos a regra da potência: a derivada é 2x/9. Para -\dfrac{z^{2}}{4} a derivada é -2z/4, que simplifica para -z/2.
Passo 5
Avalio o gradiente em P(3,-5,2). Substituo x=3, y=-5, z=2 nas derivadas parciais:
Comentário amigo: se você preferir inteiros para a direção da normal, pode multiplicar esse vetor por 39 (o MMC de 3 e 13) e obter (26,-15,-39), que tem a mesma direção.
Passo 6
Equação do plano tangente (fórmula e motivação): o plano tangente em P(x_{0},y_{0},z_{0}) para uma superfície F(x,y,z)=0 pode ser escrito como
\nabla F(P)\cdot (x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0})=0.
Isto é, o produto escalar do vetor normal com qualquer vetor que vá de P a um ponto (x,y,z) do plano deve ser zero.
Passo 7
Aplico a fórmula com \nabla F(P)=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{5}{13},-1\right) e P(3,-5,2):
\frac{2}{3}(x-3)-\frac{5}{13}(y+5)-1\cdot(z-2)=0.
Vou simplificar essa expressão passo a passo para dar uma forma linear bonita e sem frações.
Passo 8
Expando e simplifico a equação:
\frac{2}{3}x-2-\frac{5}{13}y-\frac{25}{13}-z+2=0.
Note que os termos -2 e +2 se cancelam, sobrando
\frac{2}{3}x-\frac{5}{13}y - z -\frac{25}{13}=0.
Isolo o termo constante para o lado direito:
\frac{2}{3}x-\frac{5}{13}y - z = \frac{25}{13}.
Passo 9
Para eliminar frações multiplico ambos os lados por 39 (pois 39 é múltiplo de 3 e 13):
Essa é uma forma limpa da equação do plano tangente.
Passo 10
Equação da reta normal: a reta normal passa por P(3,-5,2) e tem direção dada pelo vetor normal \nabla F(P)=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{5}{13},-1\right). A forma paramétrica (com parâmetro t) é