Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto P(3,-5,2) à superfície:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{26}-\frac{z^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{26}-\frac{z^{2}}{4}=1
e o ponto P(3,-5,2) pertencente a essa superfície. Pede-se:
  • A equação do plano tangente à superfície no ponto P.
  • A equação da reta normal à superfície que passa por P.
Informações relevantes fornecidas: a equação implícita da superfície e as coordenadas do ponto P.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): para uma superfície dada implicitamente por uma equação
F(x,y,z)=0,
o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é perpendicular (normal) à superfície em cada ponto. Isso acontece porque, se considerarmos uma curva qualquer \mathbf{r}(t) contida na superfície e passando por P, temos F(\mathbf{r}(t))=0 para todo t. Derivando em relação a t obtemos
\frac{d}{dt}F(\mathbf{r}(t))=\nabla F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0.
Como \mathbf{r}'(t) é um vetor tangente à superfície, sua escalar com \nabla F é 0, ou seja, \nabla F é ortogonal a todos os vetores tangentes — logo é um vetor normal à superfície. Esse vetor normal é o que usamos para escrever a equação do plano tangente e para dar a direção da reta normal.

Passo 3

Defino a função F correspondente à superfície retirando o 1 para obter uma forma F(x,y,z)=0. Assim:
F(x,y,z)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{26}-\frac{z^{2}}{4}-1.
Sempre que tivermos uma superfície implícita assim, calculamos as derivadas parciais de F para formar o gradiente.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{2x}{9},
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{2y}{26}=\frac{y}{13},
\frac{\partial F}{\partial z}=-\frac{2z}{4}=-\frac{z}{2}.
Explanação rápida: deriva-se termo a termo; por exemplo, para \dfrac{x^{2}}{9} usamos a regra da potência: a derivada é 2x/9. Para -\dfrac{z^{2}}{4} a derivada é -2z/4, que simplifica para -z/2.

Passo 5

Avalio o gradiente em P(3,-5,2). Substituo x=3, y=-5, z=2 nas derivadas parciais:
\left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_{P}=\frac{2\cdot 3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},
\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{P}=\frac{-5}{13}=-\frac{5}{13},
\left.\frac{\partial F}{\partial z}\right|_{P}=-\frac{2}{2}=-1.
Portanto o vetor gradiente (vetor normal) em P é
\nabla F(P)=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{13},-1\right).
Comentário amigo: se você preferir inteiros para a direção da normal, pode multiplicar esse vetor por 39 (o MMC de 3 e 13) e obter (26,-15,-39), que tem a mesma direção.

Passo 6

Equação do plano tangente (fórmula e motivação): o plano tangente em P(x_{0},y_{0},z_{0}) para uma superfície F(x,y,z)=0 pode ser escrito como
\nabla F(P)\cdot (x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0})=0.
Isto é, o produto escalar do vetor normal com qualquer vetor que vá de P a um ponto (x,y,z) do plano deve ser zero.

Passo 7

Aplico a fórmula com \nabla F(P)=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{5}{13},-1\right) e P(3,-5,2):
\frac{2}{3}(x-3)-\frac{5}{13}(y+5)-1\cdot(z-2)=0.
Vou simplificar essa expressão passo a passo para dar uma forma linear bonita e sem frações.

Passo 8

Expando e simplifico a equação:
\frac{2}{3}x-2-\frac{5}{13}y-\frac{25}{13}-z+2=0.
Note que os termos -2 e +2 se cancelam, sobrando
\frac{2}{3}x-\frac{5}{13}y - z -\frac{25}{13}=0.
Isolo o termo constante para o lado direito:
\frac{2}{3}x-\frac{5}{13}y - z = \frac{25}{13}.

Passo 9

Para eliminar frações multiplico ambos os lados por 39 (pois 39 é múltiplo de 3 e 13):
39\left(\frac{2}{3}x\right)-39\left(\frac{5}{13}y\right)-39z = 39\cdot\frac{25}{13}.
Calculando termo a termo:
26x-15y-39z=75.
Essa é uma forma limpa da equação do plano tangente.

Passo 10

Equação da reta normal: a reta normal passa por P(3,-5,2) e tem direção dada pelo vetor normal \nabla F(P)=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{5}{13},-1\right). A forma paramétrica (com parâmetro t) é
x=3+\frac{2}{3}t,\quad y=-5-\frac{5}{13}t,\quad z=2-t.
Se você preferir usar a direção com inteiros (26,-15,-39) e outro parâmetro s, uma forma equivalente é
x=3+26s,\quad y=-5-15s,\quad z=2-39s.
Ambas descrevem a mesma reta; uma usa direção “pequena” com frações, outra usa direção inteira.

Resposta

26x-15y-39z=75
x=3+\frac{2}{3}t,\quad y=-5-\frac{5}{13}t,\quad z=2-t

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