Use a regra da cadeia para achar \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t} nos seguintes casos:
z=x^{3}+y^{3}+z^{3}, x=s^{2}+t, y=s t

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}. As informações fornecidas são:
z = x^{3} + y^{3} + z^{3},
x = s^{2} + t,
y = s t.
Ou seja: há uma relação (implícita) entre x,y,z dada pela primeira equação, e x e y são funções de s e t. Precisamos encontrar \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t} considerando que z também depende de s e t indiretamente via x(s,t),y(s,t) e via a própria equação implícita.

Passo 2

Estratégia (explicada): vamos tratar a equação dada como uma equação implícita entre x,y,z. Definimos a função
F(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-z,
de modo que a condição do enunciado fica F(x,y,z)=0. Quando x,y,z dependem de s,t, a derivada parcial de F em relação a s deve ser zero:
\frac{\partial}{\partial s}F\big(x(s,t),y(s,t),z(s,t)\big)=0.
Pelo mesmo motivo teremos uma equação para a derivada em relação a t.
Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se F(x,y,z) e x,y,z dependem de s, então
\frac{\partial}{\partial s}F(x,y,z)=F_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+F_{y}\,\frac{\partial y}{\partial s}+F_{z}\,\frac{\partial z}{\partial s}.
Aqui F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}, F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}, F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}. A mesma fórmula vale trocando s por t.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de F (explicando cada termo): F(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-z. Diferenciando parcialmente:
F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=3x^{2},
porque a derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2} e os outros termos não dependem de x.
F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=3y^{2},
pela mesma razão em relação a y.
F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=3z^{2}-1,
pois a derivada de z^{3} é 3z^{2} e a derivada de -z é -1.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de x e y em relação a s e t (substituindo as definições dadas):
x(s,t)=s^{2}+t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial s}=2s,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=1.
y(s,t)=s t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial s}=t,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=s.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia diferenciando F(x(s,t),y(s,t),z(s,t))=0 em relação a s. Pelo Passo 2,
F_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s}+F_{y}\,\frac{\partial y}{\partial s}+F_{z}\,\frac{\partial z}{\partial s}=0.
Substituindo F_{x},F_{y},F_{z} do Passo 3 e x_{s},y_{s} do Passo 4:
3x^{2}\cdot(2s)+3y^{2}\cdot t+(3z^{2}-1)\frac{\partial z}{\partial s}=0.
Agora isolamos \frac{\partial z}{\partial s}:
(3z^{2}-1)\frac{\partial z}{\partial s} = -\big(6s x^{2} + 3t y^{2}\big).
Dividindo por 3z^{2}-1 (atenção: isso exige 3z^{2}-1\neq 0, que é a condição para que a derivada exista pelo método de diferenciação implícita):
\frac{\partial z}{\partial s} = -\frac{6s x^{2} + 3t y^{2}}{3z^{2}-1}.
Podemos fatorar 3 no numerador, ficando uma forma mais compacta:
\frac{\partial z}{\partial s} = -\frac{3\big(2s x^{2} + t y^{2}\big)}{3z^{2}-1}.

Passo 6

Repetimos o processo diferenciando em relação a t. Pela regra da cadeia:
F_{x}\,\frac{\partial x}{\partial t}+F_{y}\,\frac{\partial y}{\partial t}+F_{z}\,\frac{\partial z}{\partial t}=0.
Substituindo os valores:
3x^{2}\cdot 1 + 3y^{2}\cdot s + (3z^{2}-1)\frac{\partial z}{\partial t}=0.
Isolando \frac{\partial z}{\partial t}:
(3z^{2}-1)\frac{\partial z}{\partial t} = -\big(3x^{2} + 3s y^{2}\big).
Dividindo por 3z^{2}-1:
\frac{\partial z}{\partial t} = -\frac{3x^{2} + 3s y^{2}}{3z^{2}-1}.
Fatorando 3:
\frac{\partial z}{\partial t} = -\frac{3\big(x^{2} + s y^{2}\big)}{3z^{2}-1}.

Passo 7

Para ficar totalmente explícito em termos de s e t, substituímos x=s^{2}+t e y=s t nas fórmulas obtidas. Assim as respostas finais são (mantendo z como a variável implícita que satisfaz a equação do enunciado):
\frac{\partial z}{\partial s} = -\frac{6s (s^{2}+t)^{2} + 3t (st)^{2}}{3z^{2}-1},
\frac{\partial z}{\partial t} = -\frac{3 (s^{2}+t)^{2} + 3s (st)^{2}}{3z^{2}-1}.
Se quiser, dá para simplificar os termos com (st)^{2}=s^{2}t^{2}, mas essa forma já é clara e usa somente as substituições diretas.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial s} = -\frac{6s (s^{2}+t)^{2} + 3t (st)^{2}}{3z^{2}-1}
\frac{\partial z}{\partial t} = -\frac{3 (s^{2}+t)^{2} + 3s (st)^{2}}{3z^{2}-1}

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