Use a regra da cadeia para achar
e
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para achar as derivadas parciais
e
. As informações fornecidas são:
Ou seja: há uma relação (implícita) entre
dada pela primeira equação, e
e
são funções de
e
. Precisamos encontrar
e
considerando que
também depende de
e
indiretamente via
e via a própria equação implícita.
Passo 2
Estratégia (explicada): vamos tratar a equação dada como uma equação implícita entre
. Definimos a função
de modo que a condição do enunciado fica
. Quando
dependem de
, a derivada parcial de
em relação a
deve ser zero:
Pelo mesmo motivo teremos uma equação para a derivada em relação a
.
Vou usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
e
dependem de
, então
Aqui
,
,
. A mesma fórmula vale trocando
por
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
(explicando cada termo):
. Diferenciando parcialmente:
porque a derivada de
em relação a
é
e os outros termos não dependem de
.
pela mesma razão em relação a
.
pois a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
(substituindo as definições dadas):
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia diferenciando
em relação a
. Pelo Passo 2,
Substituindo
do Passo 3 e
do Passo 4:
Agora isolamos
:
Dividindo por
(atenção: isso exige
, que é a condição para que a derivada exista pelo método de diferenciação implícita):
Podemos fatorar
no numerador, ficando uma forma mais compacta:
Passo 6
Repetimos o processo diferenciando em relação a
. Pela regra da cadeia:
Substituindo os valores:
Isolando
:
Dividindo por
:
Fatorando
:
Passo 7
Para ficar totalmente explícito em termos de
e
, substituímos
e
nas fórmulas obtidas. Assim as respostas finais são (mantendo
como a variável implícita que satisfaz a equação do enunciado):
Se quiser, dá para simplificar os termos com
, mas essa forma já é clara e usa somente as substituições diretas.