Determine equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto indicado.
x^{2}-2 y^{2}+z^{2}+y z=2, P(2,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
x^{2}-2y^{2}+z^{2}+yz=2
e o ponto P(2,1,-1). As perguntas são:
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto P.
  • Determinar a equação da reta normal à superfície que passa por P.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica da superfície e as coordenadas do ponto P. Vamos usar essas informações para obter o plano tangente e a reta normal em P.

Passo 2

Transformar a superfície numa função implícita F(x,y,z)=0 facilita o cálculo. Definimos
F(x,y,z)=x^{2}-2y^{2}+z^{2}+yz-2.
Note que a superfície é o conjunto dos pontos que satisfazem F(x,y,z)=0. Antes de tudo, verifico que P realmente pertence à superfície substituindo (x,y,z)=(2,1,-1) em F:
F(2,1,-1)=2^{2}-2\cdot1^{2}+(-1)^{2}+1\cdot(-1)-2.
Agora calculo termo a termo:
2^{2}=4,\qquad -2\cdot1^{2}=-2,\qquad (-1)^{2}=1,\qquad 1\cdot(-1)=-1.
Somando:
4-2+1-1-2=0.
Como F(2,1,-1)=0, o ponto P pertence à superfície — bom, temos direito de calcular tangente e normal aí.
Explicação curta do porquê do método (didática): para uma superfície dada por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F no ponto escolhido é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. O plano tangente é o plano que contém todas as direções no ponto que são “tangentes” à superfície, e seu vetor normal pode ser tomado como \nabla F(P). Por isso usaremos \nabla F para obter o plano tangente e a reta normal.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F. Essas derivadas medem a taxa de variação de F quando mudamos apenas uma variável, mantendo as outras fixas. Escrevo as componentes do gradiente:
\frac{\partial F}{\partial x}=F_{x},\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=F_{y},\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=F_{z}.
Agora calculo cada uma:
F_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-2y^{2}+z^{2}+yz-2\bigr)=2x,
F_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-2y^{2}+z^{2}+yz-2\bigr)=-4y+z,
F_{z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}-2y^{2}+z^{2}+yz-2\bigr)=2z+y.
Agora avalio essas derivadas no ponto P(2,1,-1):
F_{x}(2,1,-1)=2\cdot 2=4,
F_{y}(2,1,-1)=-4\cdot 1+(-1)=-4-1=-5,
F_{z}(2,1,-1)=2\cdot(-1)+1=-2+1=-1.
Portanto o gradiente em P é
\nabla F(2,1,-1)=(4,\,-5,\,-1).
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente e também a direção da reta normal.

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal. Fórmula (explicada): o plano que passa por P=(x_{0},y_{0},z_{0}) com vetor normal (A,B,C) tem equação
A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.
Aqui A=4, B=-5, C=-1 e x_{0}=2, y_{0}=1, z_{0}=-1. Substituo na fórmula:
4(x-2)-5(y-1)-1(z-(-1))=0.
Reescrevo o último parentese simplificando z-(-1)=z+1:
4(x-2)-5(y-1)-(z+1)=0.

Passo 5

Desenvolver a equação do plano para forma mais simples (passo a passo):
Primeiro distribuo:
4x-8-5y+5-z-1=0.
Agora somo os termos constantes -8+5-1=-4, então:
4x-5y-z-4=0.
Isolando o termo constante no outro lado, uma forma comum é:
4x-5y-z=4.
Essa é a equação do plano tangente em forma linear.

Passo 6

Encontrar a equação da reta normal. Ideia: a reta normal passa por P e tem direção dada pelo vetor normal \nabla F(P)=(4,-5,-1). Assim a forma paramétrica da reta é
(x,y,z)=(2,1,-1)+t(4,-5,-1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas isso dá:
x=2+4t,\qquad y=1-5t,\qquad z=-1-t.
Se desejar a forma simétrica (quando denominadores não são zero):
\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+1}{-1}.
Ambas as representações descrevem a mesma reta normal passando por P.

Resposta

Plano tangente: 4x-5y-z=4
Reta normal (paramétrica): \;x=2+4t,\;y=1-5t,\;z=-1-t,\;t\in\mathbb{R}

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