Determine equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado dá a superfície implícita
e o ponto
. As perguntas são:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto
. - Determinar a equação da reta normal à superfície que passa por
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica da superfície e as coordenadas do ponto
. Vamos usar essas informações para obter o plano tangente e a reta normal em
.
Passo 2
Transformar a superfície numa função implícita
facilita o cálculo. Definimos
Note que a superfície é o conjunto dos pontos que satisfazem
. Antes de tudo, verifico que
realmente pertence à superfície substituindo
em
:
Agora calculo termo a termo:
Somando:
Como
, o ponto
pertence à superfície — bom, temos direito de calcular tangente e normal aí.
Explicação curta do porquê do método (didática): para uma superfície dada por
, o vetor gradiente
no ponto escolhido é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. O plano tangente é o plano que contém todas as direções no ponto que são “tangentes” à superfície, e seu vetor normal pode ser tomado como
. Por isso usaremos
para obter o plano tangente e a reta normal.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Essas derivadas medem a taxa de variação de
quando mudamos apenas uma variável, mantendo as outras fixas. Escrevo as componentes do gradiente:
Agora calculo cada uma:
Agora avalio essas derivadas no ponto
:
Portanto o gradiente em
é
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente e também a direção da reta normal.
Passo 4
Escrever a equação do plano tangente usando o vetor normal. Fórmula (explicada): o plano que passa por
com vetor normal
tem equação
Aqui
,
,
e
,
,
. Substituo na fórmula:
Reescrevo o último parentese simplificando
:
Passo 5
Desenvolver a equação do plano para forma mais simples (passo a passo):
Primeiro distribuo:
Primeiro distribuo:
Agora somo os termos constantes
, então:
Isolando o termo constante no outro lado, uma forma comum é:
Essa é a equação do plano tangente em forma linear.
Passo 6
Encontrar a equação da reta normal. Ideia: a reta normal passa por
e tem direção dada pelo vetor normal
. Assim a forma paramétrica da reta é
Em coordenadas paramétricas isso dá:
Se desejar a forma simétrica (quando denominadores não são zero):
Ambas as representações descrevem a mesma reta normal passando por
.
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):