Mostre que a projeção ortogonal define um homeomorfismo do parabolóide
do
no plano
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se para mostrar que a projeção ortogonal do parabolóide sobre o plano
é um homeomorfismo. - Informação dada: o parabolóide é o conjunto
e o plano considerado é o plano
- A projeção ortogonal padrão em
manda um ponto para . O que temos que provar é que a restrição dessa projeção a é um homeomorfismo de sobre .
Passo 2
O que significa “ser um homeomorfismo” (passo didático).
- Um mapa
entre espaços topológicos é um homeomorfismo se e somente se: (i) é bijetivo, (ii) é contínuo, e (iii) é contínuo. - Aqui
e têm a topologia de subespaço herdada de . Vou verificar os três itens acima para a projeção restrita a .
Passo 3
Definição explícita do mapa que vamos estudar.
- Defino
por
- A restrição que nos interessa é
- Obs.: escrevo pontos de
no formato porque em a terceira coordenada é determinada pelas duas primeiras.
Passo 4
Mostro que
é contínua (explicando por que).
- A projeção
é uma aplicação linear entre espaços euclidianos (apenas elimina a coordenada ), e aplicações lineares são contínuas. - A restrição de uma função contínua a uma subvariedade ou subespaço é contínua. Portanto
é contínua. - Em linguagem prática:
envia para e esse envio depende de forma contínua de (são funções polinomiais das coordenadas), então é contínua.
Passo 5
Provo que
é injetiva.
- Suponha que
Isto significa
, logo
e
.
- Como ambos os pontos estão em
, temos e . Com e segue . Assim os dois pontos são idênticos. - Conclusão:
é injetiva. (Intuição: dois pontos do parabolóide com mesmas primeiras duas coordenadas só podem ser o mesmo ponto, pois a terceira coordenada é fixa por ).
Passo 6
Provo que
é sobrejetiva.
- Tome um ponto arbitrário do plano
: . Considere o ponto . Esse ponto pertence a porque sua terceira coordenada é . - Aplicando
obtemos
- Portanto todo ponto de
tem pré-imagem em . Conclusão: é sobrejetiva.
Passo 7
Escrevo a inversa explicitamente e mostro que ela é contínua (parte crucial).
- A bijetividade dos passos anteriores garante que existe inversa
. Ela é dada explicitamente por
- Essa fórmula expressa cada coordenada da imagem como um polinômio nas coordenadas
e . Polinômios (soma e produto de coordenadas) são funções contínuas em , logo a aplicação é contínua. - Assim
tem inversa contínua.
Passo 8
Conclusão final e interpretação geométrica, com reforço didático.
- Reunindo:
é bijetiva, contínua, e tem inversa contínua; portanto é um homeomorfismo entre e . - Intuição: o parabolóide é “gráfico” da função
, e projetar orthogonalmente para o plano é apenas esquecer a terceira coordenada — como um gráfico cartesiano, o parabolóide é topologicamente idêntico ao domínio . Isso explica por que a projeção é um homeomorfismo. \n\nForça aí — esse tipo de argumento (gráficos de funções sendo homeomorfos ao domínio via projeção) aparece sempre em provas, decorre da mesma ideia: terceira coordenada é única função contínua das duas primeiras.