Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f(x, y)=\frac{y^{2}}{x}, P(2,4)
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{y^{2}}{x} e o ponto P(2,4).
Pede duas coisas: (1) a taxa de variação máxima de f no ponto P e (2) a direção em que essa taxa máxima ocorre.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem assumir que você já sabe):\n
A taxa de variação de f numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u} é o chamado derivada direcional, dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar (multiplica componente a componente e soma).\n
O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
E a direção onde isso ocorre é justamente a direção do próprio gradiente (ou seja, o vetor unitário paralelo a \nabla f(P)).\n
Agora vamos calcular as derivadas parciais explicitamente. Se precisar rever derivada de potências: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{y^{2}}{x}=y^{2}x^{-1}.\n
Parcial em relação a x: trata y como constante, derivando x^{-1}:
Portanto a taxa máxima de variação em P é 4\sqrt{2}.\n
Agora a direção: o vetor de direção em que o aumento é máximo é o vetor unitário paralelo a \nabla f(2,4)=(-4,4). Para normalizar dividimos pelo comprimento 4\sqrt{2}:
Obs.: essa forma é equivalente a \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Dá para interpretar: aponta para cima-esquerda (x diminui, y aumenta).