Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=\frac{y^{2}}{x}, P(2,4)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{y^{2}}{x} e o ponto P(2,4).
Pede duas coisas: (1) a taxa de variação máxima de f no ponto P e (2) a direção em que essa taxa máxima ocorre.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem assumir que você já sabe):\n
  • A taxa de variação de f numa direção dada por um vetor unitário \mathbf{u} é o chamado derivada direcional, dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar (multiplica componente a componente e soma).\n
  • O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Ele aponta na direção de máximo crescimento de f. A taxa máxima de variação em P é o comprimento (norma) de \nabla f(P):
\max_{\|\mathbf{u}\|=1} D_{\mathbf{u}}f(P)=\|\nabla f(P)\|.
E a direção onde isso ocorre é justamente a direção do próprio gradiente (ou seja, o vetor unitário paralelo a \nabla f(P)).\n
Agora vamos calcular as derivadas parciais explicitamente. Se precisar rever derivada de potências: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{y^{2}}{x}=y^{2}x^{-1}.\n
  • Parcial em relação a x: trata y como constante, derivando x^{-1}:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{y^{2}}{x^{2}}.
Expliquei: mantive y^{2} (constante) e apliquei a regra da potência em x^{-1}.\n
  • Parcial em relação a y: trata x como constante, derivando y^{2}:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y\cdot x^{-1}=\dfrac{2y}{x}.
Expliquei: derivei y^{2} que vira 2y, e dividi por x que é constante.\n
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left(-\dfrac{y^{2}}{x^{2}},\;\dfrac{2y}{x}\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(2,4).\n
Substituindo x=2 e y=4 em cada componente:\n
Primeira componente:
-\dfrac{y^{2}}{x^{2}} \Big|_{(2,4)} = -\dfrac{4^{2}}{2^{2}} = -\dfrac{16}{4} = -4.
Segunda componente:
\dfrac{2y}{x} \Big|_{(2,4)} = \dfrac{2\cdot 4}{2} = \dfrac{8}{2} = 4.
Logo
\nabla f(2,4)=(-4,\,4).

Passo 5

Calcular a magnitude (norma) do gradiente, que é a taxa de variação máxima.\n
Norma de \nabla f(2,4):
\|\nabla f(2,4)\|=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
Portanto a taxa máxima de variação em P é 4\sqrt{2}.\n
Agora a direção: o vetor de direção em que o aumento é máximo é o vetor unitário paralelo a \nabla f(2,4)=(-4,4). Para normalizar dividimos pelo comprimento 4\sqrt{2}:
\mathbf{u}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}(-4,4)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Obs.: essa forma é equivalente a \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Dá para interpretar: aponta para cima-esquerda (x diminui, y aumenta).

Resposta

4\sqrt{2}\n
\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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