Seja f: M \rightarrow N um homeomorfismo. Se x \in M e f(x)=y, mostre que M \backslash\{x\} e N \backslash\{y\} são homeomorfos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados: f: M \to N é um homeomorfismo; x\in M e f(x)=y\in N.
  • Pergunta: mostrar que M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\} são homeomorfos (ou seja, existe um homeomorfismo entre esses espaços).

Passo 2

Escolha natural da aplicação. Vou considerar a restrição de f ao conjunto M\setminus\{x\}. Defino
g := f\big|_{M\setminus\{x\}} : M\setminus\{x\}\longrightarrow N\setminus\{y\},
ou seja, g(t)=f(t) para todo t\in M\setminus\{x\}. Explico agora por que g é bem definida e por que é a candidata óbvia a ser um homeomorfismo.

Passo 3

Mostro que g é bijetiva — primeira parte: injetividade.
Como f é bijetiva (homeomorfismo implica bijeção), se g(a)=g(b) com a,b\in M\setminus\{x\} então f(a)=f(b) e, pela injetividade de f, vem a=b. Logo g é injetiva.

Passo 4

Mostro que g é bijetiva — segunda parte: sobrejetividade.
Sejam z\in N\setminus\{y\}. Como f é sobrejetiva, existe w\in M tal que f(w)=z. Como z\neq y e f(x)=y, necessariamente w\neq x. Portanto w\in M\setminus\{x\} e g(w)=f(w)=z. Assim g é sobrejetiva. Concluímos que g é bijetiva.

Passo 5

Mostro que g é contínua. Aqui preciso usar a topologia de subespaço e a propriedade de continuidade de f. Lembre que uma subconjunto U\subset N\setminus\{y\} é aberto em N\setminus\{y\} (topologia de subespaço) exatamente quando existe V aberto em N tal que U=V\cap (N\setminus\{y\}).
Tome U\subset N\setminus\{y\} aberto. Escolha V\subset N aberto com U=V\cap (N\setminus\{y\}). Então
g^{-1}(U)=\{t\in M\setminus\{x\}\mid f(t)\in V\cap (N\setminus\{y\})\}.
Como f(t)\in V\cap (N\setminus\{y\}) equivale a f(t)\in V e f(t)\neq y, a expressão acima é
g^{-1}(U)=\big(f^{-1}(V)\big)\cap (M\setminus\{x\}).
Porque f é contínua, f^{-1}(V) é aberto em M. Interseccionar um aberto de M com M\setminus\{x\} dá um aberto de M\setminus\{x\} (topologia de subespaço). Logo g^{-1}(U) é aberto em M\setminus\{x\}. Como isso vale para todo aberto U\subset N\setminus\{y\}, g é contínua.

Passo 6

Mostro que a inversa de g é contínua. A inversa de g é a restrição de f^{-1} a N\setminus\{y\}:
g^{-1} = f^{-1}\big|_{N\setminus\{y\}}: N\setminus\{y\}\longrightarrow M\setminus\{x\}.
Como f^{-1} é contínua (porque f é homeomorfismo), pelo mesmo argumento de restrição usado no passo anterior a restrição de f^{-1} a N\setminus\{y\} é contínua: para qualquer aberto W\subset M\setminus\{x\} existe U aberto em M com W=U\cap (M\setminus\{x\}) e então
(g^{-1})^{-1}(W)=f\big(U\big)\cap (N\setminus\{y\}),
ou, mais diretamente, observar que preimagens por f^{-1} de abertos em M são abertos em N, e depois intersectar com N\setminus\{y\} dá abertos da subtopologia. Portanto g^{-1} é contínua.

Passo 7

Conclusão e interpretação final. Temos que g é bijetiva, contínua, e sua inversa g^{-1} também é contínua. Isso é exatamente a definição de homeomorfismo entre espaços topológicos. Portanto g é um homeomorfismo entre M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\}. \nDica amiga: a ideia é intuitiva — como f empilha pontos um a um, ao tirar x de M tiramos justamente y=f(x) de N, e a bijeção contínua sobra restringida; resta checar continuidade nas subtopologias, que fizemos com as preimagens de abertos.

Resposta

M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\} são homeomorfos; um homeomorfismo explícito é g=f\big|_{M\setminus\{x\}}:M\setminus\{x\}\to N\setminus\{y\}.

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