Determine às equações do plano tangente e da reta normal a superfície definida implicitamente pela equação:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície implícita definida por
no ponto
. O assunto envolvido é superfícies definidas implicitamente, gradiente, plano tangente e reta normal.
Passo 2
Definimos a função
de modo que a superfície seja o nível zero:
Para uma superfície implícita, o vetor gradiente
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliamos o gradiente em
:
Passo 5
O plano tangente em
tem equação dada por
. Substituindo:
que simplifica para
Passo 6
A reta normal passa por
na direção do gradiente
. As equações paramétricas são
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: