Determine às equações do plano tangente e da reta normal a superfície definida implicitamente pela equação: x^2 y-4 z^2=-7 no ponto P(-3,1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície implícita definida por x^2y - 4z^2 = -7 no ponto P(-3,1,-2). O assunto envolvido é superfícies definidas implicitamente, gradiente, plano tangente e reta normal.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z) de modo que a superfície seja o nível zero:
F(x,y,z) = x^2y - 4z^2 + 7 = 0
Para uma superfície implícita, o vetor gradiente nabla F é normal à superfície.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partial Fpartial x = 2xy,
Fy = partial Fpartial y = x^2,
Fz = partial Fpartial z = -8z

Passo 4

Avaliamos o gradiente em P(-3,1,-2):
Fx(-3,1,-2) = 2cdot(-3)cdot1 = -6,
Fy(-3,1,-2) = (-3)^2 = 9,
Fz(-3,1,-2) = -8cdot(-2) = 16

Passo 5

O plano tangente em P tem equação dada por Fx(P)(x-x0) + Fy(P)(y-y0) + Fz(P)(z-z0) = 0. Substituindo:
-6(x + 3) + 9(y - 1) + 16(z + 2) = 0,
que simplifica para
-6x + 9y + 16z + 5 = 0

Passo 6

A reta normal passa por P na direção do gradiente (Fx,Fy,Fz). As equações paramétricas são
x = -3 - 6t,
y = 1 + 9t,
z = -2 + 16t

Resposta

Plano tangente:
-6x + 9y + 16z + 5 = 0
Reta normal:
x = -3 - 6t, y = 1 + 9t, z = -2 + 16t

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