Sejam
conjuntos arbitrários. Marque com V as afirmações abaixo que forem sempre verdadeiras (quaisquer que sejam
):
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Passo 1
Então, a gente tem um exercício de matemática envolvendo conjuntos no espaço real de $ n $ dimensões, $ \mathbb{R}^n $. A questão é sobre fronteiras de intersecção de conjuntos. A gente vai precisar entender o que é a fronteira de um conjunto e como ela se comporta quando a gente intersecta dois conjuntos, $ A $ e $ B $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de um conjunto $ A $, denotada por $ \partial A $, é o conjunto de pontos onde todo entorno do ponto tem partes que estão dentro de $ A $ e partes que estão fora de $ A $. É tipo a “parede” que separa $ A $ do resto do espaço.
Passo 3
Agora, a gente precisa entender o que significa $ A \cap B $. Isso é a intersecção dos conjuntos $ A $ e $ B $, ou seja, todos os pontos que estão em $ A $ e também em $ B $.
Passo 4
A afirmação do exercício está dizendo que a fronteira de $ A \cap B $ está contida na intersecção das fronteiras de $ A $ e $ B $, ou seja:
A gente precisa verificar se isso é sempre verdadeiro, não importa quais sejam os conjuntos $ A $ e $ B $.
Passo 5
Para ver se essa inclusão é sempre verdadeira, vamos pensar em um exemplo. Suponha que $ A $ e $ B $ sejam dois círculos que se sobrepõem parcialmente. A intersecção $ A \cap B $ seria uma espécie de forma de “olho” onde os dois círculos se encontram.
Passo 6
A fronteira de $ A \cap B $ incluiria as bordas dessa forma de “olho”. Mas as fronteiras de $ A $ e de $ B $ são os próprios círculos. A intersecção das fronteiras $ \partial A \cap \partial B $ seria apenas os pontos onde os círculos se encontram exatamente, que são dois pontos.
Passo 7
Comparando, vemos que a fronteira de $ A \cap B $ tem mais pontos (a borda completa da forma de “olho”) do que apenas os pontos da intersecção das fronteiras de $ A $ e $ B $. Ou seja, nem toda fronteira de $ A \cap B $ está na interseção das fronteiras de $ A $ e $ B $.
Resposta
A afirmação não é sempre verdadeira, então não marcamos com V.