Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a função
em série de potências e encontrar o intervalo de convergência. O conteúdo usado será a expansão em série geométrica, que diz respeito a séries de Taylor/Maclaurin para funções racionais.
Passo 2
Reescrevemos
de modo a isolar uma parte que lembre a forma padrão de série geométrica. Temos
Passo 3
Lembramos que a série geométrica é dada por
Aqui escolhemos
Passo 4
Substituindo
na expansão e multiplicando por
, obtemos
Reindexando com
Passo 5
Para que a série geométrica convirja precisamos de
, isto é,
Logo o intervalo de convergência é
Resposta
A série de potências é
com intervalo de convergência
, ou seja,
.