Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
f(x)=x1+4 x

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=x1+4x em série de potências e encontrar o intervalo de convergência. O conteúdo usado será a expansão em série geométrica, que diz respeito a séries de Taylor/Maclaurin para funções racionais.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a isolar uma parte que lembre a forma padrão de série geométrica. Temos
f(x)=xcdot11+4x

Passo 3

Lembramos que a série geométrica é dada por
11-y=sumn=0^inftyy^n,para |y|<1
Aqui escolhemos y=-4x, pois assim 1-y=1+4x.

Passo 4

Substituindo y=-4x na expansão e multiplicando por x, obtemos
f(x)=xsumn=0^infty(-4x)^n=sumn=0^infty(-4)^n,x^n+1
Reindexando com k=n+1 resulta
f(x)=sumk=1^infty(-4)^k-1x^k

Passo 5

Para que a série geométrica convirja precisamos de |y|<1, isto é,
|-4x|<1implies|x|
Logo o intervalo de convergência é (-1/4,1/4).

Resposta

A série de potências é f(x)=sumk=1^infty(-4)^k-1x^k com intervalo de convergência |x|<1/4, ou seja, (-1/4,1/4).

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