Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
Estamos com a função
e o assunto é séries de potências do tipo Maclaurin. Para resolver, vamos usar a expansão de uma série geométrica e depois identificar o intervalo onde ela converge.
Passo 2
Primeiro, reorganizo a função para isolar a parte que cabe na forma de série geométrica. Escrevo
Agora lembramos que para
Aplicando com
, obtemos
Para voltar a
$$
f(x)=x2\sum_{n=0}\infty(-9x2)n=\sum_{n=0}\infty(-1)n9n,x{2n+2}$$
Passo 3
Para achar onde isso converge, exijo
$$
|-9x2|<1\quad\Longrightarrow\quad9x2<1\quad\Longrightarrow\quad|x|<\tfrac{1}{3}$$
Nos pontos cada termo fica constante em módulo e não vai a zero, então não converge nos extremos.
Nos pontos
Resposta
A série de potências é
e o intervalo de convergência é