Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
f(x)=x^21+9 x^2

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^21+9x^2 e o assunto é séries de potências do tipo Maclaurin. Para resolver, vamos usar a expansão de uma série geométrica e depois identificar o intervalo onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, reorganizo a função para isolar a parte que cabe na forma de série geométrica. Escrevo
11+9x^2=11-(-9x^2)
Agora lembramos que para |z|<1 vale a fórmula
11-z=sumn=0^infty z^n
Aplicando com z=-9x^2, obtemos
11+9x^2=sumn=0^infty(-9x^2)^n
Para voltar a f(x), multiplico tudo por x^2:
$$
f(x)=x2\sum_{n=0}\infty(-9x2)n=\sum_{n=0}\infty(-1)n9n,x{2n+2}$$

Passo 3

Para achar onde isso converge, exijo
$$
|-9x2|<1\quad\Longrightarrow\quad9x2<1\quad\Longrightarrow\quad|x|<\tfrac{1}{3}$$
Nos pontos |-9x^2|<1Longrightarrow9x^2<1Longrightarrow|x| cada termo fica constante em módulo e não vai a zero, então não converge nos extremos.

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n9^n,x^2n+2
e o intervalo de convergência é |x|.

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